不等式常見考試題型總結(jié)(已修改)
2025-06-17 22:47 本頁面
【正文】 《不等式》常見考試題型總結(jié)一、高考與不等式高考試題，有關(guān)不等式的試題約占總分的12% 左右，主要考查不等式的基本知識，基本技能，以及學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力．選擇題和填空題主要考查不等式的性質(zhì)、比較大小和解簡單不等式，還可能與函數(shù)、方程等內(nèi)容相結(jié)合的小綜合．解答題主要是解不等式或證明不等式或以其他知識為載體的綜合題。不等式常與下列知識相結(jié)合考查：①不等式的性質(zhì)的考查常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)的考查相結(jié)合，一般多以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也與充要條件、函數(shù)單調(diào)性等知識結(jié)合，且試題難度不大；②解不等式的試題主要在解答中出現(xiàn)，常常是解含參不等式較多，且多與二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、可能還會出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題；③證明不等式是理科考查的重點(diǎn)，經(jīng)常同一次函數(shù)、二次函數(shù)、數(shù)列、解析幾何，甚至還可能與平面向量等結(jié)合起來考查．二、常見考試題型（1）求解不等式解集的題型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，絕對值不等式的解法，含參不等式的解法，簡單的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立問題（不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式常應(yīng)用函數(shù)方程思想，分離變量法，數(shù)形結(jié)合法）（3）不等式大小比較常用方法：1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函數(shù)的單調(diào)性；7．尋找中間量或放縮法 ；8．圖象法。（4）不等式求函數(shù)最值技巧一：湊項(xiàng)例：已知，求函數(shù)的最大值。技巧二：湊系數(shù)例. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。技巧三： 分離例. 求的值域。技巧四：換元例. 求的值域。技巧五：函數(shù)的單調(diào)性（注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。）例：求函數(shù)的值域。技巧六：整體代換（多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。）例：（1）已知，且，求的最小值。（2）若且，求的最小值(3)已知且，求的最小值技巧七、利用轉(zhuǎn)換式子技巧八、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2＋＝1，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。同時(shí)還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， x＝x ＝x下面將x，分別看成兩個(gè)因式：x≤＝＝ 即x＝x ≤ 技巧九：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例：0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。，求它的面積最大值。技巧十：取平方例、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝＋的最值.（5）證明不等式常用方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法。基本不等式—最值求法的題型基礎(chǔ)題型一：指數(shù)類最值的求法1. 已知，求的最小值。，求的最小值。，求的最小值。，求的最小值。，求的最小值?；A(chǔ)題型二：對數(shù)類最值的求法2. 已知，且，求的最大值。，且，求的最小值。，求的最大值。能力題型一：常數(shù)變形（加或減去某個(gè)常數(shù)使兩個(gè)因式的積為常數(shù)）1. 已知,求的最小值。,求的最小值。,求的最大值。能力題型二：代換變形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知,且，求的最小值。2. ,且，求的最小值。,且，求的最大值。能力題型三：指數(shù)與系數(shù)的變形（調(diào)整字母的系數(shù)和指數(shù)）1. 已知,且，求的最大值。,且，求的最大值。,且，求的最小值。能力題型四：對勾函數(shù)及其應(yīng)用【對勾函數(shù)】，由得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。,由得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。,由得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。?；静坏仁嚼}例1. 已知, 且，求的最小值及相應(yīng)的值.例2. 的最小值為________。例3．已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是（?。├?．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為_________．例5. 若，則的最小值是（ ）例6．下列各函數(shù)中，最小值為2的是( )A B. C. D.例7（1）已知，求函數(shù)的最大值.（2）求函數(shù)的最小值求的最大值.練習(xí). 設(shè)，則的最大值為,，且. 求的最大值及相應(yīng)的的值例9若x，y是正數(shù)，則的最小值是練習(xí)：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y－1=0，則x2+y2的最小值、b滿足a+b=2，是3a+3b的最小值是基本不等式證明例 已知a，b為正數(shù)，求證：≥．例實(shí)際應(yīng)用：某單位用木材制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架圍成的總面積為8，問x y分別為多少時(shí)用料最??？基 本 不 等 式 應(yīng) 用一．基本不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）。若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最
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