【正文】 初三知識整理第一章 勾股定理J勾股定理： 直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 說明：若直角三角形的兩條直角邊為a、b，斜邊為c，則a178。+b178。=c178。J勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a178。+b178。=c178。，那么這個三角形是直角三角形。說明：根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判定一個三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三條邊，只需驗證最大邊的平方是否等于另兩邊的平方和，若相等，則是直角三角形；若不等，則不是。J勾股數(shù)：滿足a178。+b178。=c178。的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。若a，b，c是一組勾股數(shù)，則ak，bk，ck（k為正整數(shù)），也必然是一組勾股數(shù)。常用的幾組勾股數(shù)有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，請熟記。J勾股定理的應(yīng)用求兩點之間的距離和線段的長度常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解，求立體圖形上兩點之間的最短距離大致可分為：(1)圓柱形物體表面上的兩點間的最短距離；(2)長方體或正方體表面上兩點間的最短距離問題，J直角三角形三邊之間的關(guān)系不等量關(guān)系是：斜邊的長大于每條直角邊的長，其依據(jù)是“垂線段最短”；等量關(guān)系是：勾股定理，勾股定理是我們求直角三角形邊長的依據(jù)，在直角三角形中，已知任意兩邊的長，可求第三邊的長．J直角三角形的判別直角三角形的判別有兩種方法：(1)利用定義，判斷一個三角形中有一個角是直角；(2)根據(jù)三角形一邊的平方等于另外兩邊的平方和，來判定該三角形是直角三角形，J勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此它是數(shù)形結(jié)合的一個典范．對于一些幾何問題，往往借助于勾股定理，利用代數(shù)方法來解決．把一條邊的長設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出未知數(shù)的值，即使有時出現(xiàn)了二次方程，大多可通過抵消而去掉二次項．J 勾股定理中的轉(zhuǎn)化思想在利用勾股定理計算時，常先利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想構(gòu)造出直角三角形，比如立體圖形上兩點之間的最短距離的求解，解答時先把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，在平面圖形中構(gòu)造直角三角形求解，第二章 實數(shù)J 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。說明：無理數(shù)有兩個本質(zhì)屬性，一是“無限”，二是“不循環(huán)”只有滿足這兩個條件的小數(shù)才是無理數(shù)。雖然從開方運算可以得到無理數(shù)，但并不是所有的無理數(shù)都是從開方開不盡得到的，如圓周率是無理數(shù)，它并不是從開方開不盡產(chǎn)生的，因此不能誤認(rèn)為“無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)”。判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，要根據(jù)定義看其本質(zhì)屬性，不能說“帶根號的數(shù)是無理數(shù)”，事實上25=5是有理數(shù)而不是無理數(shù)。要把無理數(shù)和它的有理數(shù)近似值嚴(yán)格區(qū)別開來。如2是無理數(shù)，，…都是有理數(shù)。J 無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。（2）所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)）；而無理數(shù)寫不成分?jǐn)?shù)的形式，即無理數(shù)不能用n/m（n不等于0，m、n是整數(shù)）表示。J 實數(shù)：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。J實數(shù)的分類：有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)包括（正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)）。無理數(shù)包括（正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)）。正有理數(shù)包括（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）。負(fù)有理數(shù)包括（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）。正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)。a（a0）（a在此處鍵入公式。）J 實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是a；實數(shù)a的倒數(shù)是1a（a0）。0 （ a = 0）123J 實數(shù)a的絕對值a=a （ a 0）J 實數(shù)的絕對值性質(zhì)：a≥0；；｜a｜=｜－a｜； a?b=a?b； ab=ab（b≠0）；a2=a2J 實數(shù)的大小：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0；兩個正實數(shù)直接比較；兩個負(fù)實數(shù)，絕對值大的反而小。J 實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、乘方及開方運算，有理數(shù)的運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)混合運算的運算順序基本相同：先乘方、開方，再算乘除，最后算加減．同級運算按照從左到右的順序進(jìn)行，有括號的，先算括號里面的，但開方運算則需注意，負(fù)實數(shù)只能開奇次方，而不能開偶次方。有理數(shù)范圍內(nèi)適用的運算律、冪的運算法則、乘法公式，在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。J 實數(shù)和數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系：任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有一個惟一確定的點與之對應(yīng)，但是數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，無理數(shù)也可用數(shù)軸上的點表示，由此可見，數(shù)軸上表示有理數(shù)的點是不連續(xù)的，而有理數(shù)、無理數(shù)合在一起，才能填滿整個數(shù)軸，所以數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，J 比較實數(shù)大小的方法：實數(shù)的大小比較與有理數(shù)的大小比較的原則是相同的．在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大；正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)進(jìn)行大小比較時，先比較它們的絕對值，絕對值大的反而??；兩個正實數(shù)的大小比較，一般采用作差法、作商法、作平方法等。數(shù)軸法在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大。計算法：直接求實數(shù)的值（或近似值），然后根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)（正數(shù)0負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。┻M(jìn)行比較。求值時一般將實數(shù)寫成小數(shù)的形式。特殊性質(zhì)法：利用某些數(shù)的特殊性質(zhì)，如：（1）分母相同的兩個正分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大；分子相同的兩個正分?jǐn)?shù)，分母大的反而小。（2）若ab0，則nanb0，（n為正整數(shù)）。作差法：對實數(shù)a、b，若ab0，則ab；若ab0，則ab；若ab0，則ab。作商法：（1）對a0，b0，若a/b＞1，則ab；若a/b＜1，則ab；若a/b=1，則a=b。（2）對a0，b0，若a/b1，則ab；若a/b1，則ab；若a/b=1，則a=b。說明：（1）作差法是與0比較，作商法是與1比較。（2）作差法適用于任意兩個實數(shù)的大小比較。而用作商法時，需分兩正數(shù)比較和兩負(fù)數(shù)比較兩種情況。J 算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x178。=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為“a”讀作“根號a”。說明：0的算術(shù)平方根是0，即0=0。J 平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a即x178。=a，那么這個數(shù)x和它的相反數(shù)—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。J 平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。J 開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。J 立方根：一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x179。=a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。J 立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。J 開立方：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù)。J 確定平方根或立方根的大致范圍有些數(shù)的平方根或立方根不是有理數(shù)，而是無理數(shù)，這些數(shù)都是開方開不盡的數(shù)，我們可以借助平方運算或立方運算，通過兩邊夾遭韻方法估計它們的值所在的范圍，例如要估算√43的大小，要求誤差小于O．1．首先找出43鄰近的兩個完全平方數(shù)，如364349，則√36√43√49，即6√437，由此可見√43的整數(shù)部分應(yīng)是6，=，=43，√43，從而知√43的十分位上的數(shù)應(yīng)為5，即√43≈．J 通過估算比較兩個數(shù)的大小對于含根號的數(shù)比較大小，一般可采用下列方法：(1)先估算含根號的數(shù)的近似值，再和另一個數(shù)進(jìn)行比較；(2)當(dāng)符號相同時，把不含根號的數(shù)平方（或立方）和被開方數(shù)比較，本方法的實質(zhì)是比較被開方數(shù)，被開方數(shù)越大，算術(shù)平方根（或立方根）越大；(3)若同分母或同分子的，可比較它們分子或分母的大小．J 涉及三種非負(fù)數(shù)的問題非負(fù)數(shù)是正數(shù)和零的統(tǒng)稱，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見的非負(fù)數(shù)有三種；實數(shù)的絕對值、實數(shù)的平方、非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根，靈活運用它們值的大小或等于O的特性，對一些問題可找到很好的解決途徑。第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)J 平移：平移是圖形變換的一種基本形式．在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移. (1)圖形的平移是指整個圖形在平面內(nèi)的平行移動，包括圖形上的每一條線、每個點，它由移動的方向和距離決定；(2)確定一個圖形平移后的位置的條件是：平移的方向、平移的距離、圖形原來的位置；(3)圖形的平移是圖形的一種變換——平移變換，簡稱平移；(4)平移前后圖形的形狀、大小都不發(fā)生變化．J 平移的性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等；對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．(1)在圖形的平移變換過程中，要注意圖形上的點的對應(yīng)關(guān)系，即要找準(zhǔn)對應(yīng)點，然后找出對應(yīng)的線（線段）、角、邊等；(2)平移后的圖形與原圖形全等，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，對應(yīng)點所連的線段既能反映圖形平移的方向，也能表示平移的距離（線段的長度）．平移作圖的條件：平移作圖是常見的作圖，根據(jù)平移的定義可知，要確定一個圖形平移后的位置需要三個條件：(1)圖形原來的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距離．三個條件必不可少，若缺少一個條件并不是無法作出平移后的圖形，而是作出的圖形不惟一。平移作圖的方法：平移作圖的一般步驟為：(1)確定平移的方向和距離，并確定一組對應(yīng)點；(2)確定圖形中的關(guān)鍵點，關(guān)鍵點一般為端點、轉(zhuǎn)折點、交點等，如三角形的三個頂點為關(guān)鍵點，四邊形的四個頂點為關(guān)鍵點，圓的關(guān)鍵點為圓心等；(3)利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖形中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點，注意其方法不惟一；(4)按原圖形的方式依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形，J 利用平移設(shè)計圖案的一般思路是：(1)確定“基本圖案”；(2)把“基本圖案”按一定方向、一定距離連續(xù)平移，完成圖案的設(shè)計；(3)設(shè)計的圖案的主旨和含義要適當(dāng)、明確，圖案設(shè)計的自主性很強，同時為了美感和一定的目的要求，是有一定難度的。J 旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角．對圖形旋轉(zhuǎn)的概念，我們應(yīng)從以下幾個方面理解：(1)旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)的過程中保持不動；(2)圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向來決定的；(3)將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，意味著圖形上每一點繞這個定點同時按相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的角度；(4)這里“一個角度”指的是大于0176。而小于360176。的角；(5)圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大?。甁 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：由旋轉(zhuǎn)的概念可知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)為：(1)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的大小和形狀都一樣；(2)旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度．J 平移與旋轉(zhuǎn)的區(qū)別和聯(lián)系：聯(lián)系：平移和旋轉(zhuǎn)都是在平面內(nèi)進(jìn)行的圖形變換，變換前后的圖形是全等的，對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)點的排列次序相同．區(qū)別：平移是在平面內(nèi)將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，它應(yīng)同時滿足的條件是：①有原圖形；②平移的方向；③平移的距離。而旋轉(zhuǎn)是在平面內(nèi)將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，它應(yīng)同時滿足的條件是：①有原圖形；②旋轉(zhuǎn)中心；③旋轉(zhuǎn)的方向；④旋轉(zhuǎn)角度． J 旋轉(zhuǎn)作圖滿足的條件：要確定一個圖形旋轉(zhuǎn)后的位置需要滿足三個條件：(1)圖形原來的位置，(2)旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向；(3)旋轉(zhuǎn)角．只有上述三個條件同時具備了，一個圖形旋轉(zhuǎn)后的位置才惟一確定。J 旋轉(zhuǎn)作圖的步驟：圖形上每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，這既是旋轉(zhuǎn)的基本規(guī)律，也是我們旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)：旋轉(zhuǎn)作圖的步驟：①確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；②找出表示原圖形的關(guān)鍵點；③將原圖形上的關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個旋轉(zhuǎn)角，得到這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點；④按原圖形的方式連接這些對應(yīng)點，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形．J 圖形的三種基本變換：到目前為止，我們主要學(xué)習(xí)了三種基本的圖形變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，三者既有區(qū)別，又有聯(lián)系．區(qū)別：(1)運動方式不同．平移是沿某方向平行移動；旋轉(zhuǎn)是繞一定點轉(zhuǎn)動；軸對稱是沿一條直線翻折；(2)對應(yīng)點的連線的性質(zhì)不同，兩個具有平移關(guān)系的圖形對應(yīng)點連接的線段平行且相等；兩個具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的圖形對應(yīng)點連接的線段沒有特殊關(guān)系；兩個成軸對稱的圖形的對應(yīng)點連接的線段被對稱軸垂直平分；(3)三種變換所需條件不同．平移變換需要知道平移方向和平移距離；旋轉(zhuǎn)變換需要知道旋轉(zhuǎn)中心、蕨轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；軸對稱變換需要知道對稱軸．聯(lián)系：三者都是平面內(nèi)的圖形變換，而且都不改變圖形的大小和形狀，只是改變圖形的位置，每種變換需要滿足的條件不同，其分析側(cè)重點也不同。一般有以下幾種分析方法：(1)平移變換。分析每次平移變換的方向、距離，再分析平移變換的次數(shù)；(2)旋轉(zhuǎn)變換．分析每次旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，再分析旋轉(zhuǎn)變換的次數(shù)；(3)軸對稱變換，確定對稱軸進(jìn)行軸對稱變換；(4)平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的組合，一般先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，再進(jìn)行平移變換；(5)旋轉(zhuǎn)變換與軸對稱變換的組合。一般先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，再進(jìn)行軸對稱變換；(6)軸對稱變換與平移變換的組合，一般先進(jìn)行軸對稱變換，再進(jìn)行平移變換，J 圖案的欣賞與分析：欣賞與分析圖案特別強調(diào)了兩個方面：一方面強調(diào)體會圖案的藝術(shù)美和其反映的設(shè)計意義；另一方面通過分析圖案的形成過程，意在思考圖案的設(shè)計思路，也就是平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱及其組合是如何進(jìn)行合理運用的．對于較為復(fù)雜的圖案的分析要運用“整體思想”，即從整個圖案著手，分析圖案的組成一共有幾種“基本圖案”，再從細(xì)處思考每種“基本圖案”是怎樣進(jìn)行變換的．J 簡單圖案設(shè)計的一般方法：圖案的設(shè)計是利用圖形的基本變換來進(jìn)行圖案設(shè)計，圖形的基本變換有軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)這三種基本形式，但較多的圖形變換形式都是經(jīng)過組合變化而成的．利