【正文】 2022/6/2 1 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 本章主要內(nèi)容 ? 代數(shù)系統(tǒng)的引入 ， 運(yùn)算的性質(zhì)：封閉性 、 結(jié)合性 、 分配性 、 交換性； ? 主要的代數(shù)系統(tǒng)：廣群 、 半群 、 獨(dú)異點(diǎn) 、 群 、 子群；代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系； ? 交換群和循環(huán)群； ? 陪集 、 拉格朗日定理； ? 同態(tài)映射 、 同構(gòu)映射； ? 環(huán) 、 同態(tài)象 、 域 。 學(xué)習(xí)要求 ? 本章從一般代數(shù)系統(tǒng)的引入出發(fā) ， 研究一些特殊的代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的性質(zhì) 。 通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì) 。 2022/6/2 2 本章將從一般代數(shù)系統(tǒng)的引入出發(fā)，研究一些特殊的代數(shù)系統(tǒng)，而這些代數(shù)系統(tǒng)中的運(yùn)算具有某些性質(zhì)，從而確定了這些代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 2022/6/2 3 51 代數(shù)系統(tǒng)的引入 一、集合上的運(yùn)算及封閉性 一元運(yùn)算： f1:a→ , a?R,a≠0 f2:a→ [a] , a?R f3:a→ a , a?R 二元運(yùn)算： f4:a,b→ a+b , a,b?R f5:a,b→ ab , a,b?R f6:R2→ R 三元運(yùn)算： f7：三種顏色 → 三種顏色混合色 A→ A A是各種顏色的集合。 a1事實(shí) 這些例子的共同特征就是運(yùn)算結(jié)果還在原來的集合中。稱具有這種特征的運(yùn)算是封閉的，簡稱閉運(yùn)算。 2022/6/2 4 很容易舉出不封閉運(yùn)算的例子：一架自動售貨機(jī)，能接受一角硬幣和二角五分硬幣，而所對應(yīng)的商品是桔子水、可口可樂和冰淇淋。當(dāng)人們投入上述硬幣的任何兩枚時(shí)，自動售貨機(jī)將按表 。 表格左上角的記號 *可以理解為一個(gè)二元運(yùn)算的運(yùn)算符。這個(gè)例子中的二元運(yùn)算 *就是集合 {一角硬幣，二角五分硬幣 }上的不封閉運(yùn)算。 * 一角硬幣 二角五分硬幣 一角硬幣 二角五分硬幣 桔子水 可口可樂 可口可樂 冰淇淋 表 2022/6/2 5 設(shè) A={紅色，黃色，藍(lán)色 } f7： 三種顏色 → 三種顏色混合色 f7是不封閉的。 f8是 I上的除法運(yùn)算， f8是不封閉的。 2022/6/2 6 定義 如果 ? 為 An到 B的一個(gè)函數(shù)，則稱 ? 為集合 A上的 n元運(yùn)算 （ operater）。如果 B?A，則稱該 n元運(yùn)算 在 A上 封閉 。 在定義 ，當(dāng) n=1時(shí)， f 稱為集合 A上的一元運(yùn)算；當(dāng)n=2時(shí)， f 稱為集合 A上的二元運(yùn)算。 在討論抽象運(yùn)算時(shí)， “ 運(yùn)算 ” 常記為 “ *” 、 “ °” 等。設(shè) *是 二元運(yùn)算，如果 a與 b運(yùn)算得到 c，記作 a*b=c；若 *是 一元運(yùn)算， a的運(yùn)算結(jié)果記作 *a或 *(a)。 2022/6/2 7 設(shè) A=?1 , a , ?，其中， a是非零實(shí)數(shù)。 f： A→ A，定義為： ?a?A， f(a)= 。容易看出 f是 A上的一元運(yùn)算。 又如， f： N N→N ，定義為： ?m,n?N， f(m,n)=m＋ n，f是自然數(shù)集合 N上的二元運(yùn)算，它就是普通加法運(yùn)算。普通減法不是自然數(shù)集合 N上的二元運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減可能得到負(fù)數(shù)，而負(fù)數(shù)不是自然數(shù)。所以普通的減法不是自然數(shù)集合 N上的二元運(yùn)算。 通過以上討論可以看出，一個(gè)運(yùn)算是否為集合 A上的運(yùn)算必須滿足以下兩點(diǎn)： ① A中任何元素都可以進(jìn)行這種運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果是惟一的。 ② A中任何元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于 A。 通常 稱為運(yùn)算在 A是封閉的。 a1a12022/6/2 8 【 例 】 設(shè) N為自然數(shù)集合 ， *和 °是 N N到 N映射 ， 規(guī)定為： ?m,n?N， m?n=min?m,n? m°n=max?m,n? 則 ?和 °是 N上的二元運(yùn)算 。 【 例 】 設(shè) Nk=?0,1,? ,k1?。 Nk上的二元運(yùn)算 +k定義為：對于 Nk中的任意兩個(gè)元素 i和 j， 有 稱二元運(yùn)算 +k為模 k加法 。 ????????????kjikjikjijijik 2022/6/2 9 kjikjikjijijik ???????????的余數(shù)除以 稱二元運(yùn)算 k為模 k的乘法 。 模 k加法 +k和模 k乘法 k是兩種重要的二元運(yùn)算 。 在 N7=?0,1,2,3,4,5,6?中 ， 有 4+72=6， 4+75=2。 如果把 N7中的元素： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6分別看作是：星期日 、 星期一 、 星期二 、 星期三 、 星期四 、 星期五 、 星期六 。 那么4+72=6可解釋為：星期四再過兩天后是星期六； 4+75=2可解釋為：星期四再過五天后是星期二 。 這是模 7加法實(shí)際意義的一種解釋 。 Nk上的二元運(yùn)算 k定義為：對于 Nk中的任意兩個(gè)元素 i和j， 有 2022/6/2 10 運(yùn)算的表示 表示運(yùn)算的方法通常有兩種：解析公式和運(yùn)算表。 解析公式是指用運(yùn)算符號和運(yùn)算對象組成的表達(dá)式。如 f(a)= ， a1????????????kjikjikjijijik 運(yùn)算表是指運(yùn)算對象和運(yùn)算結(jié)果構(gòu)成的二維表。 經(jīng)常使用運(yùn)算表來定義有限集合上的二元運(yùn)算 ， 特別當(dāng)有限集合上的二元運(yùn)算不能用表達(dá)式簡明地表示時(shí) ， 借助于運(yùn)算表來定義二元運(yùn)算會帶來方便 。 另外 ， 運(yùn)算表還便于對二元運(yùn)算的某些性質(zhì)進(jìn)行討論 ， 更形象地了解二元運(yùn)算的有關(guān)特征 。 設(shè) N4=?0,1,2,3?， N4上的模 4加法＋ 4可以用 運(yùn)算表表示 ，它的運(yùn)算表如表 。 N4上的模 4乘法 4也可以用 運(yùn)算表表示 ， 它的運(yùn)算表如表 。 2022/6/2 11 表 +4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 表 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 2022/6/2 12 二、代數(shù)系統(tǒng) 定義 一個(gè)非空集合 A連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算 f1,f2,…, fk 所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè) 代數(shù)系統(tǒng)（代數(shù)結(jié)構(gòu)） ，記為 A, f1,f2,…, fk 。 代數(shù)結(jié)構(gòu)常用一個(gè)多元序組 S， ?， ?， … 來表示 , 其中 S是載體 ,?,?， … 為各種運(yùn)算。有時(shí)為了強(qiáng)調(diào) S有某些元素地位特殊 ,也可將它們列入這種多元序組的末尾。 根據(jù)定義 ， 一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面兩個(gè)條件： ① 有一個(gè)非空集合 A。 ② 有一些定義在集合 A上的運(yùn)算 。 集合和定義在集合 A上的運(yùn)算是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的兩個(gè)要素 ， 缺一不可 。 2022/6/2 13 【 例 】 設(shè) B是一個(gè)集合 ， A=P (B)是 A冪集合 。 集合的求補(bǔ)運(yùn)算是 A上的一元運(yùn)算 ， 集合的并和交運(yùn)算是 A上的是二元運(yùn)算 。 于是 A,∪ ,∩,~構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) ， 該代數(shù)系統(tǒng)常稱為集合代數(shù) 。 【 例 】 設(shè) R?0?是全體非零實(shí)數(shù)集合 ， *是 R?0?上二元運(yùn)算 ， 定義為： ?a,b? R?0?， a*b=b。 則 R?0?,*是代數(shù)系統(tǒng) 。 2022/6/2 14 雖然集合不同，運(yùn)算不同，但是它們是一些具有共同運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)算，研究 I， + 就相當(dāng)于研究 I， *， R， +， P(S)， ∪ ， P(S)， ∩ 52 運(yùn)算及其性質(zhì) 在前面考察幾個(gè)具體的代數(shù)系統(tǒng)時(shí)，已經(jīng)涉及到我們所熟知的運(yùn)算的某些性質(zhì)。下面，著重討論一般二元運(yùn)算的一些性質(zhì)。 2022/6/2 15 定義 設(shè) *是定義在集合 A上的二元運(yùn)算，如果對于任意的 x,y?A，都有 x*y?A，則稱二元運(yùn)算 *在 A上是 封閉的 。 【 例 】 設(shè) A={x|x=2n,n?N},問乘法運(yùn)算是否封閉？對加法運(yùn)算呢？ 解：對于任意的 2r,2s?A， r， s?N，因?yàn)?2r2s=2r+s?A所以乘法運(yùn)算是封閉的。而對于加法運(yùn)算是不封閉的，因?yàn)橹辽儆?2+22=6?A 2022/6/2 16 二、可交換性 定義 設(shè) *是定義在集合 A上的二元運(yùn)算，如果對于任意的 x,y?A，都有 x*y=y*x，則稱二元運(yùn)算 *在 A上是可交換的。 【 例 】 設(shè) Q是有理數(shù)集合， Δ是 Q上的二元運(yùn)算，對任意的 a,b?R， aΔb=a+bab，問運(yùn)算 Δ是否可交換。 解：因?yàn)? aΔb=a+bab=b+aba=bΔa 所以運(yùn)算 Δ 是可交換的。 2022/6/2 17 三、可結(jié)合性 例如 R上的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都是可結(jié)合運(yùn)算， R上的減法運(yùn)算和除法運(yùn)算都是不可結(jié)合運(yùn)算。 定義 設(shè) *是定義在集合 A上的二元運(yùn)算，如果對于任意的 x,y,z?A，都有 (x*y)*z=x*(y*z)，則稱二元運(yùn)算 *在 A上是可結(jié)合的。 實(shí)數(shù)集合上的普通加法和乘法是二元運(yùn)算 ， 滿足結(jié)合律；矩陣的加法和乘法也是二元運(yùn)算 ， 也滿足結(jié)合律；向量的內(nèi)積 、 外積是二元運(yùn)算 ， 但不滿足結(jié)合律 。 2022/6/2 18 【 例 】 設(shè) *是非空集合 A上的二元運(yùn)算 ， 定義為： ?a,b?A，a?b=b。 證明運(yùn)算 *是可結(jié)合的 。 證明： 對于任意的 a,b,c?A， 有 (a?b)?c=c， 而 a?(b?c)=a?c=c， 故有 (a?b)?c=a?(b?c)，即運(yùn)算 ?是可結(jié)合的 。 當(dāng)二元運(yùn)算 *在 A上適合結(jié)合律時(shí)，在只有該運(yùn)算符的表達(dá)式中，表示運(yùn)算順序的括號常被省略。所以將 (x*y)*z=x*(y*z)常寫成 x*y*z。這樣，可以令 ? ?? ???個(gè)nn aaaa ????2022/6/2 19 當(dāng)運(yùn)算 *滿足結(jié)合律時(shí)， an的也可以遞歸定義如下： ⑴ a1=a ⑵ an+1=an?a 由此利用數(shù)學(xué)歸納法 ， 不難證明下列的公式： ⑴ am?an= am+n ⑵ (am)n= amn 2022/6/2 20 四 、 可分配性 定義 設(shè) *和 °是非空集合 A上的兩個(gè)二元運(yùn)算 ， 如果對于任意 a,b,c?A， 有 a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律 ) (b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律 ) 則稱運(yùn)算 *對 °運(yùn)算是可分配的。也稱運(yùn)算 *對 °運(yùn)算滿足分配律。 【 例 】 設(shè) A=?0,1?， *和 °都是 A上的二元運(yùn)算 ， 定義為： 0?0=1*1=0， 0*1=1*0=1 0°0=0°1=1°0=0， 1°1=1 則容易驗(yàn)證 °對于運(yùn)算 *是可分配的 ， 但 *對于運(yùn)算 °是不可分配的 。 如 1*(0°1)=1≠0=(1*0)°(1*1) 2022/6/2 21 定理 設(shè) *和 °是非空集合 A上的兩個(gè)二元運(yùn)算 ， *是可交換的 。如果 *對于運(yùn)算 °滿足左分配律或右分配律 ， 則運(yùn)算 *對于運(yùn)算 °是可分配的 。 證明： 設(shè) *對于運(yùn)算 °滿足左分配律 ， 且 ?是可交換的 ，則對于任