【正文】 2022/6/2 1 第五章 代數(shù)結構 本章主要內容 ? 代數(shù)系統(tǒng)的引入 ， 運算的性質：封閉性 、 結合性 、 分配性 、 交換性； ? 主要的代數(shù)系統(tǒng)：廣群 、 半群 、 獨異點 、 群 、 子群；代數(shù)系統(tǒng)之間的關系； ? 交換群和循環(huán)群； ? 陪集 、 拉格朗日定理； ? 同態(tài)映射 、 同構映射； ? 環(huán) 、 同態(tài)象 、 域 。 學習要求 ? 本章從一般代數(shù)系統(tǒng)的引入出發(fā) ， 研究一些特殊的代數(shù)系統(tǒng)中運算的性質 。 通過本章的學習使學生了解代數(shù)系統(tǒng)的結構與性質 。 2022/6/2 2 本章將從一般代數(shù)系統(tǒng)的引入出發(fā)，研究一些特殊的代數(shù)系統(tǒng)，而這些代數(shù)系統(tǒng)中的運算具有某些性質，從而確定了這些代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學結構。 2022/6/2 3 51 代數(shù)系統(tǒng)的引入 一、集合上的運算及封閉性 一元運算： f1:a→ , a?R,a≠0 f2:a→ [a] , a?R f3:a→ a , a?R 二元運算： f4:a,b→ a+b , a,b?R f5:a,b→ ab , a,b?R f6:R2→ R 三元運算： f7：三種顏色 → 三種顏色混合色 A→ A A是各種顏色的集合。 a1事實 這些例子的共同特征就是運算結果還在原來的集合中。稱具有這種特征的運算是封閉的，簡稱閉運算。 2022/6/2 4 很容易舉出不封閉運算的例子：一架自動售貨機，能接受一角硬幣和二角五分硬幣，而所對應的商品是桔子水、可口可樂和冰淇淋。當人們投入上述硬幣的任何兩枚時，自動售貨機將按表 。 表格左上角的記號 *可以理解為一個二元運算的運算符。這個例子中的二元運算 *就是集合 {一角硬幣，二角五分硬幣 }上的不封閉運算。 * 一角硬幣 二角五分硬幣 一角硬幣 二角五分硬幣 桔子水 可口可樂 可口可樂 冰淇淋 表 2022/6/2 5 設 A={紅色，黃色，藍色 } f7： 三種顏色 → 三種顏色混合色 f7是不封閉的。 f8是 I上的除法運算， f8是不封閉的。 2022/6/2 6 定義 如果 ? 為 An到 B的一個函數(shù)，則稱 ? 為集合 A上的 n元運算 （ operater）。如果 B?A，則稱該 n元運算 在 A上 封閉 。 在定義 ，當 n=1時， f 稱為集合 A上的一元運算；當n=2時， f 稱為集合 A上的二元運算。 在討論抽象運算時， “ 運算 ” 常記為 “ *” 、 “ °” 等。設 *是 二元運算，如果 a與 b運算得到 c，記作 a*b=c；若 *是 一元運算， a的運算結果記作 *a或 *(a)。 2022/6/2 7 設 A=?1 , a , ?，其中， a是非零實數(shù)。 f： A→ A，定義為： ?a?A， f(a)= 。容易看出 f是 A上的一元運算。 又如， f： N N→N ，定義為： ?m,n?N， f(m,n)=m＋ n，f是自然數(shù)集合 N上的二元運算，它就是普通加法運算。普通減法不是自然數(shù)集合 N上的二元運算，因為兩個自然數(shù)相減可能得到負數(shù)，而負數(shù)不是自然數(shù)。所以普通的減法不是自然數(shù)集合 N上的二元運算。 通過以上討論可以看出，一個運算是否為集合 A上的運算必須滿足以下兩點： ① A中任何元素都可以進行這種運算，且運算的結果是惟一的。 ② A中任何元素的運算結果都屬于 A。 通常 稱為運算在 A是封閉的。 a1a12022/6/2 8 【 例 】 設 N為自然數(shù)集合 ， *和 °是 N N到 N映射 ， 規(guī)定為： ?m,n?N， m?n=min?m,n? m°n=max?m,n? 則 ?和 °是 N上的二元運算 。 【 例 】 設 Nk=?0,1,? ,k1?。 Nk上的二元運算 +k定義為：對于 Nk中的任意兩個元素 i和 j， 有 稱二元運算 +k為模 k加法 。 ????????????kjikjikjijijik 2022/6/2 9 kjikjikjijijik ???????????的余數(shù)除以 稱二元運算 k為模 k的乘法 。 模 k加法 +k和模 k乘法 k是兩種重要的二元運算 。 在 N7=?0,1,2,3,4,5,6?中 ， 有 4+72=6， 4+75=2。 如果把 N7中的元素： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6分別看作是：星期日 、 星期一 、 星期二 、 星期三 、 星期四 、 星期五 、 星期六 。 那么4+72=6可解釋為：星期四再過兩天后是星期六； 4+75=2可解釋為：星期四再過五天后是星期二 。 這是模 7加法實際意義的一種解釋 。 Nk上的二元運算 k定義為：對于 Nk中的任意兩個元素 i和j， 有 2022/6/2 10 運算的表示 表示運算的方法通常有兩種：解析公式和運算表。 解析公式是指用運算符號和運算對象組成的表達式。如 f(a)= ， a1????????????kjikjikjijijik 運算表是指運算對象和運算結果構成的二維表。 經常使用運算表來定義有限集合上的二元運算 ， 特別當有限集合上的二元運算不能用表達式簡明地表示時 ， 借助于運算表來定義二元運算會帶來方便 。 另外 ， 運算表還便于對二元運算的某些性質進行討論 ， 更形象地了解二元運算的有關特征 。 設 N4=?0,1,2,3?， N4上的模 4加法＋ 4可以用 運算表表示 ，它的運算表如表 。 N4上的模 4乘法 4也可以用 運算表表示 ， 它的運算表如表 。 2022/6/2 11 表 +4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 表 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 2022/6/2 12 二、代數(shù)系統(tǒng) 定義 一個非空集合 A連同若干個定義在該集合上的運算 f1,f2,…, fk 所組成的系統(tǒng)稱為一個 代數(shù)系統(tǒng)（代數(shù)結構） ，記為 A, f1,f2,…, fk 。 代數(shù)結構常用一個多元序組 S， ?， ?， … 來表示 , 其中 S是載體 ,?,?， … 為各種運算。有時為了強調 S有某些元素地位特殊 ,也可將它們列入這種多元序組的末尾。 根據(jù)定義 ， 一個代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面兩個條件： ① 有一個非空集合 A。 ② 有一些定義在集合 A上的運算 。 集合和定義在集合 A上的運算是一個代數(shù)系統(tǒng)的兩個要素 ， 缺一不可 。 2022/6/2 13 【 例 】 設 B是一個集合 ， A=P (B)是 A冪集合 。 集合的求補運算是 A上的一元運算 ， 集合的并和交運算是 A上的是二元運算 。 于是 A,∪ ,∩,~構成一個代數(shù)系統(tǒng) ， 該代數(shù)系統(tǒng)常稱為集合代數(shù) 。 【 例 】 設 R?0?是全體非零實數(shù)集合 ， *是 R?0?上二元運算 ， 定義為： ?a,b? R?0?， a*b=b。 則 R?0?,*是代數(shù)系統(tǒng) 。 2022/6/2 14 雖然集合不同，運算不同，但是它們是一些具有共同運算規(guī)律的運算，研究 I， + 就相當于研究 I， *， R， +， P(S)， ∪ ， P(S)， ∩ 52 運算及其性質 在前面考察幾個具體的代數(shù)系統(tǒng)時，已經涉及到我們所熟知的運算的某些性質。下面，著重討論一般二元運算的一些性質。 2022/6/2 15 定義 設 *是定義在集合 A上的二元運算，如果對于任意的 x,y?A，都有 x*y?A，則稱二元運算 *在 A上是 封閉的 。 【 例 】 設 A={x|x=2n,n?N},問乘法運算是否封閉？對加法運算呢？ 解：對于任意的 2r,2s?A， r， s?N，因為 2r2s=2r+s?A所以乘法運算是封閉的。而對于加法運算是不封閉的，因為至少有 2+22=6?A 2022/6/2 16 二、可交換性 定義 設 *是定義在集合 A上的二元運算，如果對于任意的 x,y?A，都有 x*y=y*x，則稱二元運算 *在 A上是可交換的。 【 例 】 設 Q是有理數(shù)集合， Δ是 Q上的二元運算，對任意的 a,b?R， aΔb=a+bab，問運算 Δ是否可交換。 解：因為 aΔb=a+bab=b+aba=bΔa 所以運算 Δ 是可交換的。 2022/6/2 17 三、可結合性 例如 R上的加法運算和乘法運算都是可結合運算， R上的減法運算和除法運算都是不可結合運算。 定義 設 *是定義在集合 A上的二元運算，如果對于任意的 x,y,z?A，都有 (x*y)*z=x*(y*z)，則稱二元運算 *在 A上是可結合的。 實數(shù)集合上的普通加法和乘法是二元運算 ， 滿足結合律；矩陣的加法和乘法也是二元運算 ， 也滿足結合律；向量的內積 、 外積是二元運算 ， 但不滿足結合律 。 2022/6/2 18 【 例 】 設 *是非空集合 A上的二元運算 ， 定義為： ?a,b?A，a?b=b。 證明運算 *是可結合的 。 證明： 對于任意的 a,b,c?A， 有 (a?b)?c=c， 而 a?(b?c)=a?c=c， 故有 (a?b)?c=a?(b?c)，即運算 ?是可結合的 。 當二元運算 *在 A上適合結合律時，在只有該運算符的表達式中，表示運算順序的括號常被省略。所以將 (x*y)*z=x*(y*z)常寫成 x*y*z。這樣，可以令 ? ?? ???個nn aaaa ????2022/6/2 19 當運算 *滿足結合律時， an的也可以遞歸定義如下： ⑴ a1=a ⑵ an+1=an?a 由此利用數(shù)學歸納法 ， 不難證明下列的公式： ⑴ am?an= am+n ⑵ (am)n= amn 2022/6/2 20 四 、 可分配性 定義 設 *和 °是非空集合 A上的兩個二元運算 ， 如果對于任意 a,b,c?A， 有 a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律 ) (b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律 ) 則稱運算 *對 °運算是可分配的。也稱運算 *對 °運算滿足分配律。 【 例 】 設 A=?0,1?， *和 °都是 A上的二元運算 ， 定義為： 0?0=1*1=0， 0*1=1*0=1 0°0=0°1=1°0=0， 1°1=1 則容易驗證 °對于運算 *是可分配的 ， 但 *對于運算 °是不可分配的 。 如 1*(0°1)=1≠0=(1*0)°(1*1) 2022/6/2 21 定理 設 *和 °是非空集合 A上的兩個二元運算 ， *是可交換的 。如果 *對于運算 °滿足左分配律或右分配律 ， 則運算 *對于運算 °是可分配的 。 證明： 設 *對于運算 °滿足左分配律 ， 且 ?是可交換的 ，則對于任