【正文】 3 自動控制系統(tǒng)的時域分析 本章知識點(diǎn)： 典型輸入信號分析 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及性能指標(biāo)的計算 系統(tǒng)穩(wěn)定的概念和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計算 指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時域表達(dá)式， 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)精度。 由于時域分析是直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法， 所以時域分析具有 直觀、準(zhǔn)確 的優(yōu)點(diǎn)。 并且可以提供系統(tǒng)時間 響應(yīng)的全部信息。 系統(tǒng)輸出量的時域表示可由微分方程式得到，也可由傳 遞函數(shù)得到。在初值為零時，一般都利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究， 用傳遞函數(shù)間接的評價系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 具體是根據(jù)閉環(huán)系 統(tǒng)傳遞函數(shù)的 極點(diǎn) 和 零點(diǎn) 來分析系統(tǒng)的性能 。此時也稱為 復(fù) 頻域分析。 什么是時域分析 ? 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 零點(diǎn) —— 傳遞函數(shù)分子多項式的根，稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)； ( z i ) 極點(diǎn) —— 傳遞函數(shù)分母多項式的根，稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。 ( pi ) 一般零點(diǎn)、極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)。 公式中的 K稱為放大系數(shù)。 在一定初始條件下，高階 方程與二階方程的時間響應(yīng) 比較： . 21 1 1 )4(?????????????????xxxxxxx）（曲線）（曲線2. 在工程應(yīng)用中微分方程求解法的局限性 （ 1）高階方程求解困難。 （ 2）實(shí)際工程問題要求選擇系統(tǒng)參數(shù)，改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 （ 3） 很難區(qū)分影響系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的主、次因素。 因此，從工程角度來看，準(zhǔn)確求解沒有必要。 分析控制系統(tǒng)的任務(wù) （ 1）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定； （ 2）分析系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞。 比較三個隨動系統(tǒng)當(dāng)輸入量變化時，系統(tǒng)的動態(tài)性能 受控量跟隨輸 入變化時間慢 受控量變化快 但不能及時停住 受控量能較 好地跟隨輸 入量變化 自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo) 對控制性能的要求 穩(wěn)定、準(zhǔn)確和快速三個方面。 自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號 1）階躍函數(shù) ??????0 , 0 , 0)(tAttxr 其拉氏變換后的像函數(shù)為： ? ?stLsXsAtxLsXrrr1)( 1)( )]([)( ????t)(txr?1A 階躍幅度， A=1 稱為 單位階躍函數(shù)，記為 )(1t 2） 斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）： ??????0 , 0 , 0)(tAtttxrA=1時，稱為單 位斜坡函數(shù)。 t)(tx Attx ?)(其拉氏變換后的像函數(shù)為： 2][)( sAAtLsXr ??3） 拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）： ??????0 ,0 , 0)(2 tAtttxrt)(tx 2)( Attx ? 其拉氏變換后的像函數(shù)為： 32 2][)(sAAtLsXr ?? 時，稱為 單位拋物線函數(shù) 。 21?A 4） 脈沖函數(shù) )0( 0 ,) 0( , 0 , 0)(?????????????????tAtttx r 脈沖函數(shù)定義 ： 脈沖函數(shù)是矩形脈動函數(shù)當(dāng)其寬度 趨于零時的極限 ，這是一個寬度為零，幅值為無窮 大，面積為 A的極限脈沖。 ?脈沖函數(shù)的拉氏變換： ? ?AesAdtedteAdtetxsXAAtxLsXststststrrrr???????????????????????????????????????????????????0000001lim 0lim)()(lim)()(0t0)( 0tt??)(t?t在 處的單位脈沖函數(shù)用 來表示，它滿足如下條件： 0tt? )( 0tt??????????0000)(tttttt? ???? ?? 1 )( 0 dttt? 單位脈沖函數(shù)可看作單位階躍函數(shù)的倒數(shù)，即 dttdt )(1)( ?? 反之，單位脈沖函數(shù) 的積分就是單位階躍函數(shù)。 )(t? 單位脈沖函數(shù)： 1)]([ ?tL ? 面積 A = 1 時脈沖函數(shù)，稱為單位脈沖函數(shù) 。 其拉氏變換后的像函數(shù)為 于是，強(qiáng)度為 A的脈沖函數(shù) 可表示為 )(txr)()( tAtx r ??)(t?單位脈沖函數(shù) ?1)(t??t0上述幾種典型函數(shù)有如下關(guān)系： 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) )(sXc )(sE)(sXrsk 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 111)1(1)()()(????? TssKsXsXsWrcB式中： , 稱為時間常數(shù)。 kT 1?單位脈沖 函數(shù) 單位階躍 函數(shù) 單位斜坡 函數(shù) 單位拋物線 函數(shù) 積分 積分 積分 微分 微分 微分 單位階躍響應(yīng)函數(shù) ： ssXr 1)( ?ttsscTtccxxtxteTssLsTsLtxsTssX?????????????????)()0( 1]111[]111[)(,111)(11Tt se ????? 11計算調(diào)節(jié)時間 ： st解之得 ： ????????時，當(dāng)時，當(dāng)%53%24TTts 可見， 調(diào)節(jié)時間只與時間常數(shù) 有關(guān)。 0 1T 2T 3T 4T 5T00. 20. 40. 60. 8 0. 9510. 98tC(t)C( ∞ )0. 632斜率 = 1/TT 這是一個單調(diào)上升的響應(yīng)，見下圖。瞬態(tài)性能指標(biāo)只有調(diào)節(jié)時間 T )(txc)(?cx例 31 （ 1）求調(diào)節(jié)時間 （ 2）若要求 ，求系統(tǒng)反饋系數(shù)應(yīng)取多少？ ??st)( sts ?解 :（ 1）首先求傳遞函數(shù)： )( , )( 5% 101 0 01/1 0 0)( sTtsTssssWsB??????????誤差帶的若取顯然： 0 . 1 ( s ))/(3 1/11 0 01/1 0 0)( ???????????ttsttttBKKTtKTsKKKsssW則：：根據(jù)題意要求?（ 2）設(shè)滿足 的反饋系數(shù)為 )0 ( ?tt KK)( sts ? 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 如圖所示為位置隨動系統(tǒng)的原理圖（原教材例題） 本系統(tǒng)中設(shè)傳動比 cmZZi ??? ??? 12減速器 手柄 c?m?r?kU sK dUai解：該系統(tǒng)的任務(wù)是控制有粘性摩擦力 和轉(zhuǎn)動慣量 的負(fù)載， 使其位置與輸入手柄位置協(xié)調(diào)。 LJLf為電機(jī)機(jī)電時間常數(shù)。為電機(jī)電磁時間常數(shù)得消去中間變量當(dāng)激磁電流不變電機(jī)轉(zhuǎn)矩程電機(jī)轉(zhuǎn)軸的機(jī)械平衡方電樞的感應(yīng)電勢電樞回路方程）例題參考電動機(jī)環(huán)節(jié)）（功率放大環(huán)節(jié)）（）轉(zhuǎn)換及放大環(huán)節(jié)（）比較環(huán)節(jié)（mdedmmddmdddddddKdsKcrTTCundtdnTdtndTTtiCtMdttdnJtMntedtdiLRieusUsUKssUKsss , , )()( )( )()( C)( 3216~P a g e 15 ( 4 )()( 3 )()( 2 )()()( 1 22e1???????????????????sssnssssndttdnsTCsUsnTCsUsnsnTsnsTTmmmmmccmmmeddedmmd???????????????1/)()( )()( )( 1 , , 5 1/1)()( ,0 /)()()()( c2?????????????又電動機(jī)轉(zhuǎn)角為傳動比為設(shè)）轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)（則有：若：對方程兩邊求拉氏變換由上述分析可得如圖所示的位置隨動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖： ?eskmkK CKKKsTsKsW 1 , )1()( ???kmkB KssTKsW??? 2)( 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)： 解：輸入為： 輸出為： )(sc?)(sr?mnkmmknmkmmkBTKTTKTKsTsTKsW21 ,21 , 1/)( 2??????????則令 將上式轉(zhuǎn)換成二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式： )2()( 2)()()( 22222nnKnnnrcBsssWsssssW???????????????)2(2nnss ????)(sXr )(sXc 如圖所示為典型的單位反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖： 注意：當(dāng) 不同時，特征根（極點(diǎn)）有不同的形式， 其階躍響應(yīng)的形式也不同。階躍響應(yīng)有振蕩 和非振蕩兩種情況。 ? 典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性 )2()( 1)( , 2)( 222222nnncrnnnBssssxssXsssW?????????????????系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：