曲線和曲面造型基礎(chǔ)(已修改)
2025-05-13 05:29 本頁面
【正文】 第 2章 曲線和曲面造型基礎(chǔ) 微分幾何基礎(chǔ) NURBS曲線與曲面 圖形變換 曲線與曲面造型方法 微分幾何基礎(chǔ) 矢量代數(shù) Oxyzx1y1z1ABP ( x1, y1, z1)axyzabcPQ1 1 1x y z? ? ?a i j k空間三維點(diǎn) P（ x1,y1,z1)的矢量表示： 微分幾何基礎(chǔ) Oxyzx1y1z1ABP ( x1, y1, z1)axyzabcPQab a b?A矢量加法 ： ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2x x y y z z? ? ? ? ? ? ? ?c a b i j k1 2 1 2 1 2x x y y z z? ? ? ?ab矢量點(diǎn)乘： 點(diǎn)乘的幾何表示形式為第一個(gè)矢量向第二個(gè)矢量方向（假設(shè)第二個(gè)矢量為單位矢量）的投影長度。 微分幾何基礎(chǔ) ab a b?A矢量叉乘： 1 1 12 2 2sinx y zx y z?? ? ?i j ka b a b u 微分幾何基礎(chǔ) 叉乘大小的幾何意義表示為兩個(gè)矢量為矢量 a和 b所構(gòu)成的平行四邊形的面積。 ? ?y f x?曲線幾何 曲線的表示方法： 隱式曲線： 顯式曲線： 參數(shù)曲線： ? ?,0g x y ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , , ,x y z x t y t z t? 微分幾何基礎(chǔ) ?OP ( x , y )xy ?OP ( x , y )xyQ22 10xy? ? ?? ?1 / 221yx??? ? c o sxx ????? ? s i nyy ????隱式： 顯式： 參數(shù) : 微分幾何基礎(chǔ) ?OP ( x , y )xy ?OP ( x , y )xyQ? ?t a n 1y x t? ? ? ?? ? ? ? ? ?2211x x t t t? ? ? ?? ? ? ?221y y t t t? ? ?有理多項(xiàng)式參數(shù)形式： 以直線 PQ與 x軸的夾角 α 為參數(shù)： 微分幾何基礎(chǔ) 隱式曲線便于判定點(diǎn)與曲線的關(guān)系，不便于求值；而顯式曲線便于求值，但不便于判斷內(nèi)外關(guān)系。 微分幾何基礎(chǔ) 參數(shù)曲線： 容易通過指定參數(shù)的范圍來定義一段曲線。 因此，在課程中的曲線無特殊說明的都是指參數(shù)曲線。 推而廣之，曲面是指參數(shù)曲面。 參數(shù)曲線的矢量表示： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,t x t y t z t?r 微分幾何基礎(chǔ) 曲線的性質(zhì)： 速率、單位切矢、曲率、主法矢、曲率半徑。 微分幾何基礎(chǔ) 速率： 微分幾何基礎(chǔ) 單位切矢： 不依賴于參數(shù)化的曲線性質(zhì)被稱為曲線的內(nèi)蘊(yùn)屬性。 單位切矢和曲率是曲線最重要的兩個(gè)內(nèi)蘊(yùn)屬性。 ? ?0ss t d t? ? rd d s?Tr? ? ? ?tt?T r r弧長 ： 單位切矢： 鏈?zhǔn)椒▌t： 微分幾何基礎(chǔ) 曲率： 曲率的定義 ： 鏈?zhǔn)椒▌t后： 二維顯式曲線 y = y(x) 的曲率： d d s? ? T3???rrr? ? 3 / 22 1 39。yy? ?? 微分幾何基礎(chǔ) 法矢： 主法矢的定義 ： 副法矢： ? ? ? ?d d t d d t d d s d d s??N T T T T??B T N切矢、主法矢和副法矢定義了一個(gè)坐標(biāo)系。 TN密 切 圓密 切 面 微分幾何基礎(chǔ) 曲率半徑： 定義為密切圓的半徑，即 TN密 切 圓密 切 面1??? 微分幾何基礎(chǔ) 例：求單位圓的單位切矢和曲率半徑。 微分幾何基礎(chǔ) 空間曲線的撓率： ? ?d d s? ? ? ?BN空間曲線 SerretFre公式 ： d d s ?rT d d s ??TNd d s ????N B T ? ?d d s ???BN 微分幾何基礎(chǔ) 曲面幾何 曲面表示的分類： 隱式曲面： ? ?, , 0g x y z ?顯式（非參）曲面： 參數(shù)曲面： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , , , , ,u v x u v y u v z u v?r? ? ? ?? ?, , , ,u v u v z u v?r ? ?,z z x y?或 2 2 2 10x y z? ? ? ?? ? ? ?, c o s c o s , s i n c o s , s i nu v u v u v v?r? ?1 / 2221z x y? ? ? 微分幾何基礎(chǔ) uvu ( t )uvr ( u , v )r ( t )rurvr? ? ? ? ? ? Tt u t v t? ????u參數(shù)域上的二維曲線： ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?, , , , ,t u t v tx u t v t y u t v t z u t v t??rr映射為空間中曲面上的曲線： 注意等參線的定義。 微分幾何基礎(chǔ) 曲面的切矢： uvu ( t )uvr ( u , v )r ( t )rurvr 微分幾何基礎(chǔ) 曲面的法矢 ： uvu ( t )uvr ( u , v )r ( t ) 微分幾何基礎(chǔ) 微分幾何基礎(chǔ) 第一基本式矩陣： uvuv? ? ?r r r A u? ? ? ?2 T T T T? ? ? ? ?r r r r r u A A u u G u切矢的模： 切矢： 第一基本式矩陣： u u u vTu v v v?????? ??????r r r rG A Ar r r r? ?uv?A r r? ? ? ? ? ?, Td t d t d u d t d v d t u v? ? ?uu 微分幾何基礎(chǔ) 應(yīng)用：計(jì)算曲面的面積 u u u vTu v v v?????? ??????r r r rG A Ar r r r1 / 2uvS d u d v d u d v? ? ??? ??r r G? ? ? ? 1 / 2T??T r r A u u G u單位切矢： 微分幾何基礎(chǔ) 微分幾何基礎(chǔ) 第二基本式矩陣： ? ? ? ?u u u v u v v u
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