旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(已修改)
2025-05-11 12:05 本頁面
【正文】 電子光學(xué) 第三章 旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué) 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? 軌跡方程 ? 電子光學(xué)要研究和解決的問題是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從上一章的內(nèi)容中我們得到了三種描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法，他們分別是牛頓運(yùn)動(dòng)方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前兩個(gè)方程，描述了微分方程，最后一個(gè)描述的是積分方程，證明他們是等價(jià)的。 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以位置坐標(biāo) z為變量的微分方程，稱為軌跡方程，與最小作用原理等價(jià)。 本章采用的描述方法是從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)變換， 將方程中的時(shí)間坐標(biāo)變換成位置坐標(biāo)，從而得到軌跡方程。 通常描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程式是牛頓運(yùn)動(dòng)方程， 它是一個(gè)以時(shí)間為變量的二階微分方程。 本章描述的方法是一般教科書常用的方法。 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式分別為： 直角坐標(biāo)的軌跡方程 )(0 zx BxBzeyUeym ???? ??????)(0 xy ByBxezUezm ???? ??????)(0 yz BzByexUexm ???? ??????3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? 利用能量守恒定律 ?????? eUzyxmm )(22222020 ????可以得到關(guān)于位置坐標(biāo)變量 z對時(shí)間 t的一階微分 21220)1(2 ?? ?????? yxUm ez?3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 而坐標(biāo) x,y對 t的一階和二階微分可以表示為 xdzdzdzdxdtdzxdtdx ?? ???? ydzdzy ?? ?)()( dzdxzdzdzxdtddtdx ???? ?? )( dzdyzdzdzy ???? ???????? Uyxmez)1(2220?))1( 2()1( 2 2222 xyxm eUdzdyxm eUx ??????????????由于 因此 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? 將上式中的 z對時(shí)間的微分替代，然后再代入運(yùn)動(dòng)方程的左端得到 0 2 2 2 222 ()11U d U d xm x mx y d z x y d z???? ? ? ?? ? ? ?)( yz BzByzexUe ?? ???????再將 z的微分代入上式，可以得到 x方向的軌跡方程 得分量方程為： 而右端項(xiàng)為 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 22222()1( 1 )()2zydUxdz x yx y Uy B BUx???? ???????? ? ??? ? ??22222()1( 1 )()2xzdUyd z x yx y UB x BUy???? ???????? ? ??? ? ??3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 2. 圓柱坐標(biāo)的軌跡方程 ? 由于電子光學(xué)中，旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)常用圓柱坐標(biāo)表示，從上一章中得到，從直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)過坐標(biāo)變換得到的圓柱坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)分量方程為： zBerrUerrm ?? ???? ?????? )( 203． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) )()(1 20 zr BrBzermdtdr??? ???rBerzUezm ? ??? ?????0r? z? ??同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間微分量 換成對位置坐標(biāo)的微分，可以得到圓柱坐標(biāo)的軌跡方程。 和 ， 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 首先，利用上面的第二個(gè)方程，可以得到 角動(dòng)量守恒 定律，從而得到旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量 其中上式第二式表示旋轉(zhuǎn)方向的分量運(yùn)動(dòng) 將得到的角速度代入其他兩式，得到圓柱坐標(biāo)表示的 運(yùn)動(dòng)方程的 r和 z方向的兩個(gè)分量式 該方程表示一個(gè)以某一個(gè)角速度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系。 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? （ 3— 13）式表示旋轉(zhuǎn)方向分量方程，用磁矢量 A位代替磁感應(yīng)強(qiáng)度 B rrArrezrArzeBrBzermdtdrzr?????????)(1)(1)()(1 20??????zrArB r ???? )(1rrArB z ??? )(1方程為： 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 將方程中 r1 去掉，方程為： )()( 20 zr BrBzermdtd ??? ???由于全微分形式有： ( ) ( ) ( )()d r A r A r Ae r A e z e r ed t z r t? ? ?? ? ? ? ?? ? ?rrArezrAze??????? )()( ??3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? 而由于對于恒定磁場有 0)( ??? rAt因此右端項(xiàng)可以寫成全微分形式 )(erAdtd方程為： )()( 20 e r Adtdrmdtd ????3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) 寫成全微分，因此有 0)( 20 ?? e rArmd ??積分后得到 )( 00020220 Aerer Armrm ??? ?? ??3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) ? 角動(dòng)量守恒 0r 0A 0?其中： 分別表示初始 坐標(biāo)、 磁矢位、 旋轉(zhuǎn)角速度。 上式左端項(xiàng)表示角動(dòng)量， 右端項(xiàng)的第一項(xiàng)表示初始角動(dòng)量 第二項(xiàng)表示磁通的增量。 說明，帶電粒子任一點(diǎn)的角動(dòng)量，只取決于初始角動(dòng)量 及粒子運(yùn)動(dòng)過程中磁通量的變化， 3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) rArA的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中 一磁力線上，角動(dòng)量不變。 表示磁通量函數(shù)，可以看出，角動(dòng)量的變化是磁通量 不變，或始終兩點(diǎn)在同 (2) 角速度 利用布許定理可以得到粒子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角速度為 )( 220 rcrrAme ?????其中 000200 Arremc ??? ??3． 1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng) zBerrUerrm ?? ???? ?????? )( 20代入后可以寫為 即可得到不考慮旋轉(zhuǎn)方向的，關(guān)于帶電粒子在子午面的運(yùn)動(dòng)方程。 如果將式得到的角速度代入圓柱坐標(biāo)的第一和第三個(gè) 方程中，將不包括旋轉(zhuǎn)方向的分量
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