【正文】 1 多目標(biāo)規(guī)劃模型 在現(xiàn)實(shí)生活中 ,決策的目標(biāo)往往有多個(gè) ,例如 ,對(duì)企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管理 ,既希望達(dá)到高利潤(rùn) ,又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗 ,還希望減少對(duì)環(huán)境的污染等 .這就是一個(gè)多目標(biāo)決策的問題 .又如選購一個(gè)好的計(jì)算機(jī)系統(tǒng) ,似乎只有一個(gè)目標(biāo) ,但由于要從多方面去反映 ,要用多個(gè)不同的準(zhǔn)則來衡量 ,比如 ,性能要好 ,維護(hù)要容易 ,費(fèi)用要省 .這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多個(gè)目標(biāo) ,故也是一個(gè)多目標(biāo)決策問題 .一般來說 ,多目標(biāo)決策問題有兩類 .一類是多目標(biāo)規(guī)劃問題 ,其對(duì)象是在管理決策過程中求解使多個(gè)目標(biāo)都達(dá)到滿意結(jié)果的最優(yōu)方案 .另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題 ,其對(duì)象是在管理決策過程中根據(jù)多個(gè)目標(biāo)或多個(gè)準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的優(yōu)先等級(jí)與排序 . 多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多 ,有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾 ,這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題 .但由于客觀實(shí)際的需要 ,多目標(biāo)決策問題越來越受到重視 ,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法 .一般來說 ,其基本途徑是 ,把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題 .其主要步驟是 ,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題 ,然后利用單目標(biāo)模型的方法 ,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解 ,以此作為多目標(biāo)問題的解 . 化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類 ,一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題 ,另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題 ,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化 . 下面 ,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法 :主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。 f1 f2 1 2 3 4 5 6 7 8 167。 在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量 X， 使目標(biāo)函數(shù) f(X)取得最大（或最小）。對(duì)于任意兩方案所對(duì)應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目標(biāo) f1(X)， f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)下共有 8個(gè)解的方案。其中方案 1， 2， 3， 4稱為劣解，因?yàn)樗鼈冊(cè)趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案 5差，是可以淘汰的解。而方案 5， 6， 7， 8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因?yàn)檫@些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。 一、解的特點(diǎn) 二、模型結(jié)構(gòu) 多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。 在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要?。荒繕?biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。 多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。 多目標(biāo)規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu) 0)(0)(..))() , .. .. ,(),(()( 21???XhXgtsXfXfXfXo p t FjiTp),. .. . ,( 21 nxxxX ? 為決策變量 如對(duì)于求極大 (max)型，其各種解定義如下： 絕對(duì)最優(yōu)解：若對(duì)于任意的 X， 都有 F（ X*） ≥F(X) 有效解：若不存在 X， 使得 F（ X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在 X， 使得 F（ X*)F(X) 多目標(biāo)優(yōu)選問題的模型結(jié)構(gòu) 可用效用函數(shù)來表示。設(shè)方案的效用是目標(biāo)屬性的函數(shù)： ),. . . ,()( 21 pfffUxU ?并設(shè) )(jiij xfa ?且各個(gè)方案的效用函數(shù)分別為 ), . . . ,()( 21 pjjjj aaaUxU ?則多目標(biāo)優(yōu)選模型的結(jié)構(gòu)可表示如下： 0)(0)(..))() , .. . . ,(),(()( 21???XhXgtsXUXUXUXo r d UjiTp167。 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解 主要目標(biāo)法 在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。 0)(0)(..))() , .. .. ,(),(()( 21???XhXgtsXfXfXfXo p t FjiTp例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定 f1(X)為主要目標(biāo)，其余 p1個(gè)為非主要目標(biāo)。這時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即 ????????????1, . . . ,2,1,)(, . . . ,2,1,0)(, . . . ,2,1,0)(..)(m a x 1pkXfmjXhniXgtsXfkkji?例題 1 某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗 A， B， C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對(duì)資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤(rùn)和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤(rùn)和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？ 甲 乙 資源限量 資源 A單位消耗 資源 B單位消耗 資源 C單位消耗 9 4 3 4 5 10 240 200 300 單位產(chǎn)品的價(jià)格 400 600 單位產(chǎn)品的利潤(rùn) 70 120 單位產(chǎn)品的污染 3 2 解：?jiǎn)栴}的多目標(biāo)模型如下 ?????????????????????0,300103202242404923))(m a x (600400)(m a x12070)(m a x21212121213212211xxxxxxxxxxXfxxXfxxXf對(duì)于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤(rùn)最大為主要目標(biāo)。另兩個(gè)目標(biāo)則通過預(yù)測(cè)預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到 20220個(gè)單位，而污染控制在 90個(gè)單位以下，即 9023)(2 0 0 0 06 0 04 0 0)(213212??????xxXfxxXf由主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)問題 ????????????????????????0,300103202242404990232022060040012070)(m a x212121212121211xxxxxxxxxxxxxxXf用單純形法求得其最優(yōu)解為 90)(,2 0 7 5 0)(,4 0 2 5)(,32121?????xfxfxfxx線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃 0)(0)(..))() , .. .. ,(),(()( 21???XhXgtsXfXfXfXo p t FjiTp在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定 f1(X),f2(X),…,f p(X)具有相同的量綱 ,按照一定的規(guī)則分別給 fi賦予相同的權(quán)系數(shù) ωi， 作線性加權(quán)和評(píng)價(jià)函數(shù) ???piii XfXU1)()( ?則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題 ?????? ??0)(0)(..)()(m a x1XhXgtsXfXUjipiii?例如，某公司計(jì)劃購進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有如下 4種類型： A1， A2， A3， A4。 現(xiàn)考慮 6個(gè)方案屬性：維修期限 f1， 每 100升汽油所跑的里數(shù) f2， 最大載重噸數(shù) f3， 價(jià)格（萬元） f4， 可靠性 f5， 靈敏性 f6。 這 4種型號(hào)的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)值 fij如下表所示。 fij f1 f2 f3 f4 f5 f6 A1 1500 4 55 一般 高 A2 2700 65 低 一般 A3 2022 45 高 很高 A4 1800 4 50 很高 一般 首先對(duì)不同度量單位和不同數(shù)量級(jí)的指標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。先將定性指標(biāo)定量化： 效益型指標(biāo) 很低 低 一般 高 很高 1 3 5 7 9 很高 高 一般 低 很低 成本型指標(biāo) 可靠性和靈敏性都屬于效益型指標(biāo)，其打分如下 可靠性 一般 低 高 很高 5 3 7 9 靈敏性 高 一般 很高 一般 7 5 9 5 按以下公式作無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理 1*** *)*(9