自考線性代數(shù)經(jīng)管類資料重點考點(已修改)
2025-04-29 12:28 本頁面
【正文】 線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點逐個擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算，其結(jié)果為一個確定的數(shù).1．二階行列式由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為2．三階行列式由9個數(shù)得到下列式子：稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成 4．n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式. 5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）或（三）行列式的計算行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開： 例1 計算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開. 例2 計算行列式 解：方法1 這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行： 方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計算，即是構(gòu)造一個與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則 定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項后得到的行列式.把這個法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話
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