函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案(已修改)
2025-04-28 23:39 本頁(yè)面
【正文】 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家第一講 函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．作圖方法：描點(diǎn)法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；④描點(diǎn)連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象。 2．三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱(chēng)變換和伸縮變換等等；3．識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性、周期性等等方面．4．平移變換：（1）水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；（2）豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到．① y=f(x)y=f(x+h)。 ② y=f(x) y=f(xh)。③y=f(x) y=f(x)+h。 ④y=f(x) y=f(x)h.5．對(duì)稱(chēng)變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)即可得到；（3）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可得到；（4）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)得到．①y=f(x) y= f(x)。 ②y=f(x) y=f(x)。③y=f(x) y=f(2ax)。 ④y=f(x) y=f1(x)。 ⑤y=f(x) y= f(x).6．翻折變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到． 7．伸縮變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來(lái)的倍得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來(lái)的倍得到．①y=f(x)y=f()。② y=f(x)y=ωf(x).以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn)．運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處．這就要求對(duì)所要畫(huà)圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究．而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個(gè)難點(diǎn)．題型講解 1．作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法例1函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（ ） 解：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除C、D。由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)且，故?！噙xA.例2 說(shuō)明由函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的圖像變換得到函數(shù)的圖像．解：方法一：（1）將函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像；（2）作出函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖像，得到函數(shù)的圖像；（3）把函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．方法二：（1）作出函數(shù)的圖像關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖像，得到的圖像；（2）把函數(shù)的圖像向左平移3個(gè)單位，得到的圖像；（3）把函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．例3設(shè)曲線的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，（1）寫(xiě)出曲線的方程；（2）證明曲線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（3）如果曲線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：．解：（1）曲線的方程為；（2）證明：在曲線上任意取一點(diǎn)，設(shè)是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有，∴代入曲線的方程，得的方程：即可知點(diǎn)在曲線上．反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線上的點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線上．因此，曲線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（3）證明：因?yàn)榍€與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程組有且僅有一組解，消去，整理得，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個(gè)根，∴，即得，因?yàn)椋裕?（1）試
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