【正文】 2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：眼科病床的合理安排摘 要病床是醫(yī)院的重要衛(wèi)生資源，其使用情況是反映醫(yī)院工作效率的重要指標(biāo)，合理分配床位、提高病床使用率對于充分利用醫(yī)療資源、提高醫(yī)院的兩個(gè)效益有著十分重要的意義。本題針對某醫(yī)院眼科病床分配中存在的不合理現(xiàn)象，讓我們建立一個(gè)合理的病床安排模型，以解決病床的最優(yōu)分配問題，從而提高對醫(yī)院資源的有效利用。針對問題一，本文制定的指標(biāo)評價(jià)體系包括門診相關(guān)指標(biāo)集（病人平均等待時(shí)間、門診等待平均隊(duì)長、病人平均滿意度）和病床相關(guān)指標(biāo)集（出院者平均住院日數(shù)、病床平均工作日、病床平均周轉(zhuǎn)率、實(shí)際病床利用率）。為了能夠全面地評價(jià)出模型的優(yōu)劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等綜合評價(jià)方法，并對應(yīng)建立了三個(gè)評價(jià)模型，以得出更為科學(xué)合理的結(jié)論。針對問題二，本文建立了以病床需求數(shù)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移變量、以各類病人的病床安排數(shù)為決策變量的動態(tài)規(guī)劃模型。模型中，充分考慮了觀測期內(nèi)病人平均等待時(shí)間、病床平均周轉(zhuǎn)率、病床利用率和潛在流失率等指標(biāo)，且在制定尋優(yōu)策略時(shí)，引入了病人滿意度量化函數(shù)和優(yōu)先級函數(shù)，使得模型更加合理。通過Matlab對該模型求解，得出了次日病床安排方案（結(jié)果見表4）。綜合評價(jià)模型時(shí)，以該醫(yī)院目前的病床安排方案和我國醫(yī)院通用的病床安排方法為比較對象，借助上述三種評價(jià)方法和模型，進(jìn)行了綜合評價(jià)比較，從綜合評價(jià)結(jié)果來看，本文的模型相對較優(yōu)（評價(jià)結(jié)果見表9）。針對問題三，本文既充分考慮了如何縮短病人平均等待時(shí)間和提高病床利用率，又兼顧了公平原則，根據(jù)病癥的不同和就診病人到院的順序制訂了優(yōu)先服務(wù)策略，給出了每個(gè)病人相應(yīng)的入住時(shí)間區(qū)間（見P18）。針對問題四，由于住院部周六和周日不安排手術(shù)，對某些類型病人的病床安排產(chǎn)生了一定的影響，因此我們對問題二中模型的優(yōu)先級函數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整，并利用進(jìn)行了求解（結(jié)果見表10）。為了判斷手術(shù)安排時(shí)間是否改變，本文根據(jù)問題一的評價(jià)方法和模型對修改后的模型進(jìn)行了綜合評價(jià)，從評價(jià)結(jié)果得知，手術(shù)安排時(shí)間應(yīng)該做相應(yīng)的調(diào)整。針對問題五，為了使所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短，本文建立了以其為目標(biāo)函數(shù)且?guī)Ъs束條件的非線性規(guī)劃模型，并利用了Lingo軟件對其進(jìn)行求解，得出的結(jié)論是：分配給外傷、白內(nèi)障（雙眼）、白內(nèi)障（單眼）、青光眼、視網(wǎng)膜疾病等各類型病人的床位數(shù)依次為：11222，分別占總床數(shù)的比例為：%、%、%、%、%。最后，本文對所建模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)進(jìn)行了客觀的評價(jià)，認(rèn)為本文研究的結(jié)果在實(shí)際醫(yī)院病床安排中有一定的參考價(jià)值。關(guān)鍵詞： 病人平均等待時(shí)間；實(shí)際病床利用率；RSR法；滿意度量化函數(shù)；動態(tài)規(guī)劃模型；非線性規(guī)劃 21. 問題重述　　醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，病人到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。　　我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題?！　≡撫t(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時(shí)間里各類病人的情況?！　“變?nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只?！　⊥鈧膊⊥ǔ儆诩卑Y，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)?！　∑渌劭萍膊”容^復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后23天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥?！　≡撫t(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First e， First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊(duì)列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。　　問題一：試分析確定合理的評價(jià)指標(biāo)體系，用以評價(jià)該問題的病床安排模型的優(yōu)劣?！　栴}二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評價(jià)?！　栴}三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間。 　　問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短的病床比例分配模型。2. 模型假設(shè)1) 假設(shè)醫(yī)院床位數(shù)不發(fā)生變化，在考慮期間沒有臨時(shí)床位的增加；2) 假設(shè)附錄所給數(shù)據(jù)真實(shí)可靠；3) 假設(shè)不存在當(dāng)天門診病人當(dāng)天入院的情況；4) 假設(shè)每天就診的各類病人數(shù)是隨機(jī)的，不受特殊情況的影響；5) 假設(shè)同一病人同一天不會同時(shí)患有兩種疾病。3. 通用符號說明序號符號符號說明1第天安排給第類病人的病床數(shù)量2第天等待隊(duì)列中的第類病人數(shù)3第天新到的第類病人數(shù)4第天第類疾病第個(gè)病人的到達(dá)時(shí)間5病人期內(nèi)總等待時(shí)間6期內(nèi)病床平均周轉(zhuǎn)率7期內(nèi)病床使用率8潛在病人流失率4. 問題一：評價(jià)指標(biāo)體系的建立、評價(jià)方法和評價(jià)模型 問題一要求建立合理的評價(jià)指標(biāo)體系，用來評價(jià)病床安排模型的優(yōu)劣。制定評價(jià)指標(biāo)體系是模型評價(jià)的基礎(chǔ)，它由評價(jià)指標(biāo)集的識別和指標(biāo)體系遞階結(jié)構(gòu)的建立兩部分組成。為了使模型評價(jià)指標(biāo)體系全面地反映出模型的性能，盡可能地做到科學(xué)合理，且符合實(shí)際情況，所以必須認(rèn)真分析問題的組成和建模目標(biāo)。從所給信息來看，本題既包括眼科門診病人的類型、門診時(shí)間，又包括病人入院時(shí)間、手術(shù)時(shí)間和出院時(shí)間。從目標(biāo)上看，本題要求建立病床安排模型。因此制定指標(biāo)評價(jià)體系時(shí)，除了采用醫(yī)療機(jī)構(gòu)通用的規(guī)范性指標(biāo)外，還應(yīng)該充分考慮到病人門診等待時(shí)間和住院時(shí)間等，從而制定科學(xué)合理的指標(biāo)評價(jià)體系。模型評價(jià)時(shí)，本文結(jié)合目前給定的病床安排數(shù)據(jù)和我國當(dāng)前一般醫(yī)院的實(shí)際情況，采用常用的密切值法、TOPSIS法和RSR法（秩和比法）三種綜合評價(jià)法，同時(shí)進(jìn)行綜合比較評價(jià)，從而得出更為科學(xué)準(zhǔn)確的結(jié)論。本題評價(jià)指標(biāo)體系制定的難點(diǎn)在于醫(yī)院安排受到許多因素的影響，這些因素又多具有交叉重復(fù)，為了使評價(jià)指標(biāo)體系全面客觀、科學(xué)合理，本文借鑒專家知識經(jīng)驗(yàn)和醫(yī)療機(jī)構(gòu)的通用指標(biāo)，結(jié)合附錄中所給的數(shù)據(jù)，制定了兩類指標(biāo)[15]：一類為門診相關(guān)指標(biāo)，包括門診病人平均等待時(shí)間、門診等待平均隊(duì)長、病人平均滿意度；二類為病床相關(guān)指標(biāo)，包括出院者平均住院日數(shù)、病床平均工作日、病床平均周轉(zhuǎn)率、實(shí)際病床利用率。指標(biāo)遞階次序按上述指標(biāo)排列先后次序從低到高。本文的評價(jià)對象為問題二中建立的病床安排模型，評價(jià)的目的是針對上述評價(jià)指標(biāo)，采用合理的綜合評價(jià)方法對該醫(yī)院眼科原有的病床安排方法和所建模型中病床的安排策略進(jìn)行綜合對比分析，從而評價(jià)病床安排模型的優(yōu)劣，為該醫(yī)院眼科病床的安排提供決策依據(jù)。由于醫(yī)院病床的安排受到許多因素的交叉作用和影響，要全面、準(zhǔn)確、客觀、簡便地評價(jià)一個(gè)病床安排模型的優(yōu)劣，選擇合適的綜合評價(jià)方法顯得尤為重要。目前醫(yī)療機(jī)構(gòu)經(jīng)常采用的綜合評價(jià)方法有密切值法、TOPSIS法、RSR法（秩和比法）等。其中密切值法作為一種綜合評價(jià)方法，能夠準(zhǔn)確合理地評價(jià)醫(yī)院工作質(zhì)量，其計(jì)算方法簡便，結(jié)果直觀可靠。TOPSIS法具有計(jì)算簡便、結(jié)構(gòu)合理和應(yīng)用靈活的特點(diǎn)。RSR法也是一種綜合評價(jià)方法，它以非參數(shù)法為基礎(chǔ)，對指標(biāo)的選擇無特殊要求，綜合能力強(qiáng)，可顯示微小變動，適用于各種對象，且簡單易行，使用方便。這些方法不僅可用于醫(yī)院之間的比較，還可用于醫(yī)院某部門不同病床安排模型之間的比較。一般來講，用上述三種方法之一即可實(shí)現(xiàn)對三個(gè)對象的評價(jià)，但為了使評價(jià)的結(jié)果更加全面準(zhǔn)確，本文利用三種方法分別進(jìn)行綜合評價(jià)，從而得出更為科學(xué)的評價(jià)結(jié)論。評價(jià)對象本文選取該醫(yī)院病床的安排方法、本文欲建立的病床安排模型、一般醫(yī)院病床安排的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作為評價(jià)比較對象。為了便于敘述，對各評價(jià)對象進(jìn)行編號，代號如下：——該醫(yī)院原有的病床安排模型；——本文欲建立的病床安排模型；——一般醫(yī)院的病床安排模型。評價(jià)指標(biāo)根據(jù)對問題一的分析，為了使評價(jià)指標(biāo)體系全面客觀、科學(xué)合理，本文選取了七個(gè)綜合評價(jià)指標(biāo)，并把它們分為高優(yōu)指標(biāo)和低優(yōu)指標(biāo)：門診病人平均等待時(shí)間（低優(yōu)）、門診等待平均隊(duì)長（低優(yōu)）、病人平均滿意度（高優(yōu)）、出院者平均住床日數(shù)（低優(yōu)）、平均病床工作日（高優(yōu)）、病床平均周轉(zhuǎn)率（高優(yōu)）、實(shí)際病床利用率（高優(yōu)），具體數(shù)據(jù)可表示如下：上式中，分別表示I、II、III評價(jià)對象。設(shè)由三個(gè)評價(jià)對象的各評價(jià)指標(biāo)組成的原始數(shù)據(jù)矩陣如表1所示：表1 原始數(shù)據(jù)矩陣模型低優(yōu)低優(yōu)高優(yōu)低優(yōu)高優(yōu)高優(yōu)高優(yōu)采用密切值法、Topsis法和RSR法對上述三種病床安排模型優(yōu)劣進(jìn)行綜合評價(jià)，由于評價(jià)對象的各指標(biāo)值需在問題二中確定，因此這里僅給出各種評價(jià)方法的評價(jià)模型，綜合評價(jià)結(jié)果將在問題二的模型建立和求解之后給出。各綜合評價(jià)模型建立的具體步驟如下:密切值法（1）建立原始數(shù)據(jù)矩陣因有3個(gè)評價(jià)對象，每個(gè)對象有7個(gè)評價(jià)指標(biāo)，故得原始數(shù)據(jù)矩陣如下： （1）（2）建立標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)矩陣因?yàn)橐乖u價(jià)結(jié)果更為合理，需將矩陣中各項(xiàng)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)依據(jù)下列公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理： （2）其中，為第個(gè)評價(jià)對象的第個(gè)指標(biāo)標(biāo)化值，表示各評價(jià)對象，為各評價(jià)指標(biāo)的順序。設(shè)高優(yōu)指標(biāo)為正向指標(biāo)，低優(yōu)指標(biāo)為負(fù)向指標(biāo)，當(dāng)評價(jià)指標(biāo)為正向指標(biāo)時(shí)取正值；當(dāng)評價(jià)指標(biāo)為負(fù)向指標(biāo)時(shí)取負(fù)值（即），從而可將矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)矩陣（即正向指標(biāo)矩陣）。（3）確定“最優(yōu)點(diǎn)”和“最劣點(diǎn)”根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)矩陣中各列的最大值和最小值建立最優(yōu)點(diǎn)和最劣點(diǎn)。 （3） （4）其中， （4）計(jì)算各評價(jià)對象到“最優(yōu)點(diǎn)”與“最劣點(diǎn)”的距離 （5） （6）（5）計(jì)算各模型的密切值 （7）其中。當(dāng)密切值越小時(shí)，表明該模型與“最優(yōu)點(diǎn)”關(guān)系越密切，與“最劣點(diǎn)”關(guān)系越疏遠(yuǎn)，即質(zhì)量越高。時(shí)，病床利用率最高，即為“最優(yōu)點(diǎn)”。Topsis法（1）建立原始數(shù)據(jù)矩陣建立一個(gè)3行7列矩陣同公式（1）。（2）原始數(shù)據(jù)同趨勢化將