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圓錐曲線中離心率和范圍的求解專題[教師版](已修改)

2025-04-06 00:03 本頁面
　

【正文】 .. . . ..學習參考圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題【高考要求】1．熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)，并靈活運用它們解決相關(guān)的問題。2．掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其范圍等問題的求解策略；3．靈活運用教學中的一些重要的思想方法（如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化的思想學）解決問題?！緹狳c透析】與圓錐曲線離心率及其范圍有關(guān)的問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的離心率（a,b,c）適合的不等式（組） ，通過解不等式組得出離心率的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的離心率作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求離心率的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：① 通過參數(shù) θ 簡明地表示曲線上點的坐標；② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式??0。（1）數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關(guān)系不能倒置；二是要會把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出來，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。（2）轉(zhuǎn)化的思想方漢。如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、求曲線交點問題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化，實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，動點與不動點間的轉(zhuǎn)化。（3）函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中的一元二次函數(shù)知識等。（4）分類討論的思想方法，如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標準方程的討論等?！绢}型分析】1. 已知雙曲線 的左、右焦點分別為 、 ，拋物線 的頂點在原點，21:(0,)xyCab???1F22C準線與雙曲線 的左準線重合，若雙曲線 與拋物線 的交點 滿足 ，則雙曲線 的離1 1C2P21?1心率為（ ）A． B． C． D．233解：由已知可得拋物線的準線為直線 ，∴ 方程為 ；2axc??24ayxc?.. . . ..學習參考由雙曲線可知 ，∴ ，∴ ，∴ 2(,)bPca224()bac??22ba??， ．21e??32．橢圓 （ ）的兩個焦點分別為 、 ，以 、 為邊作正三角形，若橢圓2xyab?0a?F212恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率 為 （ B ）e A． B． C． D．31231?4(23)?4?解析：設(shè)點 為橢圓上且平分正三角形一邊的點，如圖，P由平面幾何知識可得 ，212|:|||:F?所以由橢圓的定義及 得：cea?，故選 B．12|| 312ceaP??? 變式提醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率 ．31e??3. （09 浙江理）過雙曲線21(0,)xyab???的右頂點 A作斜率為 ?的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為 ,BC．若 2AB??，則雙曲線的離心率是 ( )A． 2 B． 3 C． 5 D． 10【解析】對于 ??,0a，則直線方程為 0xya???，直線與兩漸近線的交點為 B，C，22,(,)bbB????????，22(,),baabA?????????????，因此 245ACae????．答案：C4. （09 江西理）過橢圓21xyb??( 0a?)的左焦點 1F作 x軸的垂線交橢圓于點 P， 2F為右焦點，若 1260FP???，則橢圓的離心率為（ ） A． 2 B． 3 C． 1 D． 3 1F2xOyP.. . . ..學習參考【解析】因為2(,)bPca??，再由 1260FP???有23,ba從而可得 3cea?
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