【正文】 1 計算方法電子教案 中南大學 數(shù)學科學學院 應用數(shù)學與應用軟件系 2 第二章 插值法 167。 1 引言 167。 2 拉格朗日插值多項式 167。 3 牛頓插值多項式 167。 4 分段低次插值 167。 5 三次樣條插值 167。 6 數(shù)值微分 3 167。 1 引 言 1. 1插值問題的提法 在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常遇到這種情況：在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù) 在區(qū)間 上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù) 的性態(tài)、甚至直接求出其 ? ?xf? ?ba,4 它一些點上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖然可以寫出函數(shù) 的解析表達式，但由于結構相當復雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結構復雜的解析表達式），構造某個簡單函數(shù) P(x)作為 的近似。 插值法 是解決此類問題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應用于生產(chǎn)實際和科學研究中，而且也是進一步學習數(shù)值計算方法的基礎。 ? ?xf? ?xf5 定義 設函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，且在 n+1個不同的點 上分別取值 ，在一個性質優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類 φ 中，求一簡單函數(shù)p(x) ，使 而在其它點 上，作為 f(x) 的近似。稱區(qū)間為 插值區(qū)間 ，點 為 插值節(jié)點 ，稱（ ）為 f(x)的 插值條件 ，稱函數(shù)類 φ 為 插值函數(shù)類 ，稱 p(x)為函數(shù)在 bxxxa n ?? , 10 ?nyyy , 10 ?? ? ? ?niyxP ii ?,1,0??() ixx?nxxx , 10 ?6 節(jié)點 處的 插值函數(shù) 。求插值函數(shù) p(x) 的方法稱為 插值法 。插值函數(shù)類φ的取法不同，所求得的插值函數(shù) p(x)逼近 f(x)的效果就不同它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。 當選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時 ，相應的插值問題就稱為 多項式插值 。 在多項式插值中 ， 最常見 、 最基本的問題是：求一次數(shù)不超過 n的代數(shù)多項式 nxxx , 10 ?7 () ? ? ?nnn xaxaaxP ???? ?10使 其中 為實數(shù)。滿足插值條件()的多項式 ()，稱為函數(shù) f(x) 在節(jié)點 處的 n次插值值多項式 。 n次插值多項式 的幾何意義 ：過曲線 y = f(x) 上的 n+1個點 作一條 n次代數(shù)曲線 ，作為曲線y = f(x) 的近似，如 圖 21。 ? ? ? ?niyxP iin ,1,0 ???naaa , 10 ?? ?xPn)( xPy n?),1,0)(,( niyx ii ??8 ? ?xPy n?? ?xfy ?0x 1x nx Xa b0y1yny0Y12?圖9 1 .2 插值多項式存在唯一性 由插值條件 （ ） 知，插值多項式 的系數(shù) 滿足線性方程組 （ ） 由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式（記為 V）是 n+1階范德蒙（ Vandermonde）行列式，且 ? ?xPn ? ?nia i ?,1,0???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa?????????????101111000010? ?? ???????niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV110212110200111????????10 因 是區(qū)間 上的不同點，上式右端乘積中的每一個因子 ，于是 ，方程組 （ ） 的解存在且唯一。故有下面的結論： 定理 1 若節(jié)點 互不相同 ， 則滿足插值條件 （ ）的次插值多項式 （ ） 存在且唯一 。 0?Vnxxx ?,1,0? ?ba,0?? ji xxnxxx ?,1,011 167。 2 拉格朗日插值多項式 在上一節(jié)里，我們不僅指出了插值多項式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過解線性方程組 （ ） 來確定其系數(shù) ，但是，這種作法的計算工作量大，不便于實際應用，下面介紹幾種簡便的求法。 插值基函數(shù) 先考慮一下簡單的插值問題：對節(jié)點 中任一點 ,作一 n次多項式 , 使它在該點上取值為 1,而在其余點 上取值為零 , 即 （ ） （ ） 表明 n個點 都是 n次多項式 的零點 ， 故可設 )(xlkia? ?nix i ?,1,0?? ?nkx k ??0? ?nkkix i ,1,1,1,0 ??????????kikixlik 01)()(xlk? ?nkkix i ?,1,1,1,0 ???)())(())(()( 1110 nkkkk xxxxxxxxxxAxl ?????? ?? ??12 其中 為待定系數(shù)，由條件 可得 故 () 對應于每一節(jié)點 ，都能求出一個滿足插值條件 （ ）的 n次插值多項式 （ ） ，這樣，由 （ ） 式可以求出 n+1個 n次插插多項式 。容易看出，這組多項式僅與節(jié)點的取法有關，稱它們?yōu)樵?n+1個節(jié)點上的 n次基本插值多項式 或 n次插值基函數(shù)。 kA 1)( ?xlk)(,),(),( 10 xlxlxl n?)())(()(1110 nkkkkkkk xxxxxxxxA ??????? ??)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkk xxxxxxxxxxxxxxxxxl?????????????????? ?nkx k ??013 拉格朗日插值多項式 利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件 （ ） 的 n次插值多項式 （ ） 事實上，由于每個插值基函數(shù) 都是 n次多項式，故其線性組合 （ ） 必是不高于 n次的多項式，同時，根據(jù)條件 （ ） 容易驗證多項式 （ ） 在節(jié)點 處的值為 ，因此，它就是待求的 n次插值多項式 。 形如 ()的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式，記為 （ ) ix? ??xLn)()()( 1100 xlyxlyxly nn??? ?),1,0)(( nkxl k ??? ?niy i ,1,0 ??? ?xPn)()()( 1100 xlyxlyxly nn??? ??? ????????????? nk nkkkkkknkkk xxxxxxxxxxxxxxxxy0 110110)())(()()())(()(????14 作為的特例，令 n=1，由 （ ） 即得 兩點插值公式 即 這是一個線性函數(shù) ， 用線性函數(shù) 近似代替函數(shù) ， 在幾何上就是通過曲線 上兩點 作一直線 近似代替曲線 (見 圖 22)， 故兩點插值又名 線性插值 。 若令 n=2， 由 （ ） 又可得常用的三點插值公式 （ ） （ ） （ ） ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( 1 2 0 2 1 0 2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 2 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 010110101 )( xxxxyxxxxyxL??????)()( 0010101 xxxxyyyxL ?????)(1 xL),( 00 yx ),( 11 yx )(1 xy L?)(xfy ?)(xfy ?)(xf15 這是一個二次函數(shù)，用二次函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過曲線 上的三點 ，作一拋物線 近似地代替曲線 （ 圖 23），故 三點插值 (二次插值 )。 例 1 已知 分別用線性插值和拋物插值 求 的值。 ? ?xLy 1?? ?xfy?x 0 x0 x1), 00( yx), 11( yxy 圖 22 )(2 xL )(xf)(xfy ?)(xfy ?),(),(),( 221100 yxyxyx)(2 xLy ?12144,11121,10100 ???11516 解 因為 115在 100和 121之間 ， 故取節(jié)點 x0=100， x1=121相應地有