【正文】 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 12022/2/12 1 第四章 根軌跡法 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 12 第 4章 根軌跡法 基本要求 41 根軌跡與根軌跡方程 42 繪制根軌跡的基本法則 43 廣義根軌跡 44 系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍 響應(yīng)的關(guān)系 45 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡 返回主目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 13 基本要求 、極點(diǎn)和閉環(huán)零、極點(diǎn)以及主導(dǎo)極點(diǎn)等概念。 (模方程及相角方程 )。熟練運(yùn)用模方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開(kāi)環(huán)增益。 ，法則的證明只需一般了解，熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K從零變化到正無(wú)窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。 返回子目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 14 ，初步掌握運(yùn)用根軌跡分析參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響。能熟練運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。 、要點(diǎn)和方法。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 15 ? 求解閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的必要性： –判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； –研究系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征； –系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況，從而了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 求解閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的困難 ： 111 0nn nns a s a s a? ?? ? ? ? ?高于 2次的代數(shù)方程不存在一般的求根公式 41 根軌跡的概念 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 16 1948年， 和閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系，提出了一種圖示的求解方法 ： 根軌跡法。 根軌跡的作用 ： 可看出參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，是分析、設(shè)計(jì)線形定?？刂葡到y(tǒng)的一種圖解方法，也是古典控制理論解決問(wèn)題的基本方法之一。 根軌跡法 根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出 閉環(huán) 極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的方便。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 17 定義 ：根軌跡是指系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益 K）從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)特征根在 s平面上移動(dòng)的軌跡。 ?當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為 正 反饋時(shí)，對(duì)應(yīng)的軌跡為 零 度根軌跡；而 負(fù) 反饋系統(tǒng)的軌跡為 根軌跡。 180?返回子目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 18 例子 ? 如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)為： ()( 0 . 5 1 )KGsss??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 19 ?開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 有兩個(gè)極點(diǎn) 。 沒(méi)有零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)增益為 K。 120 , 2pp? ? ??閉環(huán)特征方程 為 2( ) 2 2 0D s s s K? ? ? ??閉環(huán)特征根 為 121 1 2 , 1 1 2s K s K? ? ? ? ? ? ? ?閉環(huán)傳遞函數(shù) 為 2( ) 2()( ) 2 2C s KsR s s s K? ? ? ??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 110 從特征根的表達(dá)式中看出每個(gè)特征根都隨 K的變化 而變化。例如，設(shè) K=0 K= K=1 K= K=+∞ 12121212120 , 21 , 11 , 11 2 , 1 21 , 1sssss j s js j s js j s j? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 111 如果把不同 K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫(huà)出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 112 ? 如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ()()1 ( ) ( )GssG s H s? ??圖 4－ 3 控制系統(tǒng) 42 根軌跡方程 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 113 ?根軌跡方程 G(s)H(s)=1 ? 閉環(huán)特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 式中 G(s)H(s)是系統(tǒng) 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)，該式明確表示出 開(kāi)環(huán) 傳遞函數(shù)與 閉環(huán) 極點(diǎn)的關(guān)系。 閉環(huán)極點(diǎn)就是 閉環(huán) 特征方程的解，也稱(chēng)為特征根。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 114 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有 m個(gè)零點(diǎn)， n個(gè)極點(diǎn)，并假定n≥m，這時(shí)式（ 4－ 12）又可以寫(xiě)成： * 11()( ) ( ) 1()miiniiszG s H s Ksp???? ? ????不難看出，式子為關(guān)于 s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成 模值方程 和 相角方程 。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 115 ? 將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)表示為： ????????????????n1jjm1iin1jim1ii)ps()zs(K)1sT()1s(K)s(H)s(G 其中，Ｋ為 開(kāi)環(huán)增益 ，Ｋ ＊為 根軌跡增益 。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 116 相角方程 11( ) ( ) ( 2 1 )0 , 1 , 2 ,mniiiis z s p kk???? ? ? ? ? ? ?? ? ???*11||1||miiniiK s zsp???????模值方程 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 117 注意 ? 在實(shí)際應(yīng)用中，用 相角方程 繪制根軌跡， 而 模 值方程 主要用來(lái)確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的 值。 *K? 模值方程 不但與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開(kāi)環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而 相角方程 只與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。 ? 相角方程 是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的 充分必要條件 。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 118 例 41 它們應(yīng)滿(mǎn)足相角方程。 2( ) ( ) 2 /( 2 )G s H s K s??已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 122 4 , 2 4s j s j? ? ? ? ? ?試證明復(fù)平面上點(diǎn) 是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 12122 , 2,ppss? ? ? ? 若系統(tǒng) 閉環(huán) 極點(diǎn)為 證明： 該系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán) 極點(diǎn) 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 119 圖 4－ 4 例 4－ 1開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布圖 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 120 001 1 1 2( ) ( ) 90 90( 2 1 )22s p s pk?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?(k=0) 2s以 為試驗(yàn)點(diǎn)，可得 1s?以 為試驗(yàn)點(diǎn)，觀察圖 4－ 4，可得 圖 4－ 4 1 1 1 2( ) ( ) 9 0 9 0( 2 1 )22 ( 1 )s p s pkk????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 121 證畢 12,ss可見(jiàn)， 都滿(mǎn)足相角方程， 所以， 點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。 12,ss425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 122 例 4－ 2 ?已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng) 變化時(shí)其根軌跡如圖 45所示，求根軌跡上點(diǎn) 所對(duì)應(yīng)的 K值。 4( ) ( ) / ( 1 )G s H s K s??0K ? ? ?1 0 .5 0 .5sj? ? ?*K解 根據(jù)模值方程求解 值 4 1| 0 .5 0 .5 1 |Kj?? ? ?模值方程 圖 45 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 123 14K ??根據(jù)圖 4－ 5可得 所以 2| 0 .5 0 .5 1 |2j? ? ? ?圖 45 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 124 ?上面兩個(gè)例子說(shuō)明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 值。 *K?根軌跡法 可以在已知開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開(kāi)環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無(wú)窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即 根軌跡 。 425130 0