【正文】 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義主講：鄧蕓歡迎使用新東方在線電子教材第一講 和絕對值有關(guān)的問題一、 知識結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)二、 絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對值是它的本身；②負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③零的絕對值是零。 也可以寫成： 說明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個非負數(shù)；（Ⅱ）|a|概念中蘊含分類討論思想。三、 典型例題例1．（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | ca | | bc | 的值等于（ A ） A．3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | ca | | bc |=a(a+b)+(ca)+bc=3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2．已知：，且， 那么的值（ C ）A．是正數(shù)　　　　B．是負數(shù)　　　C．是零　　　D．不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3．（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即 x0，y0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= 6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即 x0，y0，則 4y=8 ，所以y=2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即 x0，y0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12若x、y在原點右側(cè)，即 x0，y0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整體的思想）方程 的解的個數(shù)是（ D ）A．1個 B．2個 C．3個 D．無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。 例5．（非負性）已知|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，試求下式的值．分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分數(shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果．同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6．（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：____相等 .（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點間的距離可以表示為 ．分析：點B表示的數(shù)為―1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進行討論。當(dāng)x1時，距離為x1, 當(dāng)1x0時，距離為x+1， 當(dāng)x0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時x的取值范圍為 3≤x_≤2______.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x4或x1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與1之間的距離，表示數(shù)軸上x與4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時x與1之間的距離加上x與4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x4或x1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。 四、 小結(jié)1．理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負性2．體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1． “代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2．用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3．求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1．若多項式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項式的值與x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為所以 m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2．x=2時，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時，代數(shù)式的值。分析： 因為當(dāng)x=2時， 得到，所以當(dāng)x=2時，=例3．當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4． 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項） 例5．（實際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n1）； B公司：[5000+100(n1)]+[5000+100(n1)+50]=10050+200(n1)由上可以看出B公司的年收入永遠比A公司多50元，如不細心考察很可能選錯。例6．三個數(shù)a、b、c的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_______ 。解：因為abc0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)，或三個都是負數(shù)又因為a+b+c0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)。不妨設(shè)a0，b0，c0則ab0，ac0，bc0所以x=1+1+111+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b0，c0時，x=0。另：觀察代數(shù)式 ，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問題：172839410511612例7．如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射線 ____上，“2008”在射線___________上．（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為__________________________．分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19，… 觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6， 歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n5因為17=361，所以17在射線OE上。因為2008=3346+4=33562，所以2008在射線OD上例8． 將正奇數(shù)按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找 第三列數(shù)： 3，11，19，27， 規(guī)律為8n5 因為2007=2508+7=25181 所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列 又因為第251行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9．（2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行．例如，取n＝26，則：26134411第一次F②第二次F①第三次F②…若n＝449，則第449次“F運算”的結(jié)果是__________．分析：問題的難點和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運算，即當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運算才能結(jié)束。 449奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運算，它的結(jié)果將出現(xiàn)8的交替循環(huán)。再看運算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因為第四次運算后都是奇數(shù)次運算得到8，偶數(shù)次運算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認識的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴展，體會一些簡單的數(shù)學(xué)模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認識的第一種方程，使我們學(xué)會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學(xué)知識——有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1．若關(guān)于x的一元一次方程=1的解是x=1，則k的值是（ ）A． B．1 C． D．0分析：本題考查基本概念“方程的解”因為x=1是關(guān)于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=例2．若方程3x5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x，所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個