數(shù)列測(cè)試題答案高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練(已修改)
2025-01-26 02:23 本頁(yè)面
【正文】 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，證明： 解: (Ⅰ)由 Sn=an－2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－4+ 所以a1=2 再由①有 Sn－1=an－1－2n+, n=2,3，4,…將①和②相減得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而數(shù)列{ an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得 Sn= (4n－2n)－2n+1 + = (2n+1－1)(2n+1－2) = (2n+1－1)(2n－1) Tn= = = ( － )所以, = － ) = ( － ) 設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,…）， 證明為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 證明：必要性，設(shè)是{an}公差為d1的等差數(shù)列，則bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,…)成立 又+1–=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常數(shù)) ( n=1,2,3,…)所以數(shù)列{}為等差數(shù)列 充分性： 設(shè)數(shù)列{}是公差為d2的等差數(shù)列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,…)∵=an+2an+1+3an+2 ①∴+2=an+2+2an+3+3an+4 ② ①②得–+2=（an–an+2）+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2∵–+2=( –+1)+( +1–+2)= –2 d2 ∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③ 從而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④④③得（bn+1–bn）+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0,∴由⑤得bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…)，由此不妨設(shè)bn=d3 ( n=1,2,3,…)則an–an+2= d3(常數(shù)).由此=an+2an+1+3an+2= =4an+2an+1–3d3從而+1=4an+1+2an+2–5d3 ，兩式相減得+1–=2( an+1–an) –2d3因此(常數(shù)) ( n=1,2,3,…)所以數(shù)列{an}公差等差數(shù)列 【解后反思】理解公差d的涵義，,要求考生熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其由來(lái).已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，…?。↖）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增 解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得 因?yàn)?，所以? …… ①于是 ……②由②－①得 …… ③于是 …… ④由④－③得， …… ⑤所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列?。↖I）由①有，所以 由③有，所以， 而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立 且 即所求的取值集合是 （III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，從而，所以在和上都是增函數(shù) 由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因?yàn)?，所以 取，因?yàn)?，所以 所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增 解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，所以， 故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增 已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力 滿分14分 （I）解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即 （II）證法一： ① ?、?②－①，得 即 ③－④，得 即 是等差數(shù)列 證法二：同證法一，得 令得 設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)時(shí)，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立 根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何都成立 是等差數(shù)列 （III）證明： （I）解由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去 因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為 （II）證法一：由可解得；從而 因此 令，則 因，故 特別地，從而 即 證法二：同證法一求得及，由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立 由此不等式有 證法三：同證法一求得及 令， 因 因此 從而 證法四：同證法一求得及 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，，因此，結(jié)論成立 假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即 則當(dāng)時(shí)，因 故 從而 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立 綜上對(duì)
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