數(shù)理金融第八章二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理(已修改)
2025-01-23 09:49 本頁(yè)面
【正文】 Copyright169。Linhui, Department of Finance, Nanjing University 1 金融風(fēng)險(xiǎn)理論與模型 第 5章 二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理 2 概述 ? 二叉樹期權(quán)定價(jià)（ Binomial option Pricing Model）由 Cox,Ross,Rubinstein等人提出 ? 為期權(quán)定價(jià)模型為 BS模型提供一種比較簡(jiǎn)單和直觀的方法 ? 二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和奇異期權(quán)）定價(jià)模型的基本手段 ? 對(duì)于所有不能給出解析式的期權(quán)，都可以通過二叉樹模型給出。 3 A Simple Binomial Model ? A stock price is currently $20 ? In three months it will be either $22 or $18 Stock Price = $22 Stock Price = $18 Stock price = $20 4 Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock Price = $18 Option Price = $0 Stock price = $20 Option Price=? A 3month call option on the stock has a strike price of 21. 5 ? Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 22 D – 1 18D Setting Up a Riskless Portfolio D股股票－ 1份期權(quán) =無風(fēng)險(xiǎn)證券 → 1份期權(quán) = D股股票 無風(fēng)險(xiǎn)證券 6 單期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 ? 考慮一個(gè)買權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻 t，下期 t=T到期，中間只有 1期， τ=Tt ? 假設(shè)該買權(quán)的標(biāo)的股票是 1個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。當(dāng)前股票價(jià)格為 st=S是已知的，到期股票價(jià)格為 sT， 且滿足 , 1 , ( ), 1 , ( ) 1uuTTdds s u S S u P s s qs s d S S d P s s q? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?其中， u為上漲因子， d為下跌因子 7 sT=su=uS sT=sd=dS st q 1q 問題： 如何確定該期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻 t的價(jià)值 ct？ 設(shè)想： 構(gòu)造如下投資組合，以無風(fēng)險(xiǎn)利率 r借入資金 B（相當(dāng)于無風(fēng)險(xiǎn)債券空頭），并且在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股股票（股票多頭）。 目的 ：在買權(quán)到期日，上述投資組合的價(jià)值特征與買權(quán)完全相同。 8 ? 在當(dāng)前時(shí)刻 t，已知股票的價(jià)格為 s，構(gòu)造上述組合的成本為 tNs B NS B? ? ?? 在到期時(shí)刻 T，若希望該組合的價(jià)值 v與買權(quán)的價(jià)值完全相同則必須滿足 u u r u d d r dv Ns B e c v Ns B e c??? ? ? ? ? ? 且? 由上兩式得到 ( ) /( ) ( ) /[ ( ) ]( ) /[ ( ) ] ( ) / ( ) /[ ( ) ]u d u d u dd u u d u d r d d ru d rN c c s s c c u d SB s c s c s s e Ns c edc uc u d e???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? 由此得到的組合 稱為合成期權(quán)（ synthetic option），由無套利定價(jià)原則，在當(dāng)前時(shí)刻 t買權(quán)的價(jià)值為 NS B?( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) [ ( 1 ) ]tu d u d u d u r d rru r d r r ru r d rrru r d r u d rc NS Bc c dc uc c c dc e uc eSu d S u d e u dc de c ue e d u ec e c eu d u d u de d e dc e c e pc p c eu d u d???? ? ? ?????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???redh e r e p ud? ?? ?，10 例子 ? 假設(shè)有 1個(gè)股票買權(quán)合約，到期日為 1年，執(zhí)行價(jià)格為 112美元，股票當(dāng)前的價(jià)格為 100美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 8％（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價(jià)格有兩種可能： 180美元或者 60美元，求期權(quán)的價(jià)值？ sT=su=us＝ 180 sT=sd=ds=60 st q 1q ct？ cT=cu=max(0, Su112)=68 cT=cd=max(0, Sd112)=0 11 ( ) / ( ) ( 68 0) / ( 18 0 60 ) 0. 57 ( )( ) / ( 0. 57 60 0) / 1. 08 31 .4 8 ( )u d u dd d rN c c s sB N s c e?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?股元1 . 0 8 1 0 0 6 0 0 . 41 8 0 6 0r r dude d e s spu d s s??? ? ? ?? ? ? ??? －[ ( 1 ) ] 25 .1 8 (u d rtc pc p c e ??? ? ? ? 美 元 )12 Dicussion: Riskneutral probability 1. p is Riskneutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is ( 1 ) ( 1 )u d r r rsp s p s e d e dy u eS u d u d???? ? ? ?? ? ? ? ???0[ ( 1 ) ] /u d rcsy pc p c c e y?? ? ? ? ?Option’s expected relative return is ?So， p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. ?For the above reason, We call p “risk neutral probability”. 13 Dicussion: Riskneutral probability 2. 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，主觀概率 q沒有出現(xiàn)。 ? 雖然個(gè)人對(duì) q的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價(jià)過程中并沒有涉及到 q，也就是人們對(duì) q認(rèn)識(shí)的分歧并不影響對(duì)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果。 ? 投資者最終都一致風(fēng)險(xiǎn)中性概率 p，它只取決于 r， u，d這三個(gè)客觀因子。 ( 1 )[ ( 1 ) ]rrr d rtu d re d e dc e c eu d u dpc p c e??????????? ? ???? ? ?14 Dicussion: Riskneutral probability ? 風(fēng)險(xiǎn)中性世界，不必考慮風(fēng)險(xiǎn)，這等價(jià)于假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 ? 若在期初構(gòu)造如下組合：以 S的價(jià)格買入 N股股票，同時(shí)以 c的價(jià)格賣出 1個(gè)期權(quán)，則該組合的投資成本為 NS－ c必然等于 B。 ? 若 sT＝ su [ ( ) /( ) ]u u d u d u u rv c c s s s c B e ?? ? ? ? ?若 sT＝ Sd [ ( ) /( ) ]d u d u d d d rv c c s s s c B e ?? ? ? ? ?15 ? 投資者雖然投資于有風(fēng)險(xiǎn)的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合 NS－ c，即相當(dāng)于投資 1個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的證券。 ?組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 由于是無風(fēng)險(xiǎn)證券，對(duì)于理性投資者，不論其偏好如何，其風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)于這樣的組合是無關(guān)緊要。只要考慮收益的大小即可，由此大大簡(jiǎn)化資產(chǎn)的定價(jià)。 ? 基于上述的理由，只要以上述方式構(gòu)建投資組合來對(duì)期權(quán)定價(jià)，就等價(jià)于 假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，既然是風(fēng)險(xiǎn)中性的，則對(duì)這樣的組合定價(jià)就不必考慮風(fēng)險(xiǎn)問題。 16
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