中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題及答案(已修改)
2025-01-22 05:39 本頁面
【正文】 1 第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克 競賽試題 第一天 （ 2022 年 7 月 28 日 上午 8： 00－ 12： 00） 江西 南昌 1. 試求滿足方程 222 1 2 6 2 0 0 9x xy y? ? ?的所有整數(shù)對 (, )xy ． （張鵬程供題） 2. 在凸五邊形 ABCDE 中，已知 ,A B D E B C E A A B E A? ? ?，且 , , ,BCDE 四點(diǎn)共圓． 證明： , , ,ABCD 四點(diǎn)共圓的充分必要條件是 AC AD? ． （熊斌供題） 3. 設(shè) ,x y z R?? ， 2 2 2( ) , ( ) , ( )a x y z b y z x c z x y? ? ? ? ? ?； 求證： 2 2 2 2( )a b c ab bc ca? ? ? ? ?． （唐立華供題） 4. 在一個(gè)圓周上給定十二個(gè)紅點(diǎn)；求 n 的最小值，使得存在以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的n 個(gè)三角形，滿足：以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的每條弦，都 是其中某個(gè)三角形的一條邊 ． （ 陶平生供題 ） 2 第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克 競賽試題 第二天 （ 2022 年 7 月 29 日 上午 8： 00－ 12： 00） 江西 南昌 5． 設(shè) 1,2, ,9 的所有排列 1 2 9( , , , )X x x x? 的集合為 A ； XA??，記 1 2 3 9( ) 2 3 9f X x x x x? ? ? ? ?， { ( ) }M f X X A??；求 M ． （其中 M 表示集合 M 的元素個(gè)數(shù)） （熊斌供題） 6． 已知 O 、 I 分別是 ABC? 的外接圓和內(nèi)切圓；證明：過 O 上的任意一點(diǎn) D ，都可以作一個(gè)三角形 DEF ，使得 O 、 I 分別是DEF? 的外接圓和內(nèi)切圓． （陶平生供題） 7． 設(shè) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( , , )1 3 1 3 1 3x y z y z x z x yf x y z x y y z z x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?， 其中 , , 0xy ? ， 且1x y z? ? ? ． 求 ( , , )f x y z 的最大值和最小值 ． （ 李勝宏供題 ） 8． 在 88 方格表中，最少需要挖去幾個(gè)小方格，才能使得無法從剩余的方格表中裁剪出一片 形狀如下 完整 的 T 型 五方連塊？ （孫文先供題） 1. 試求滿足方程 222 1 2 6 2 0 0 9x xy y? ? ?的所有整數(shù)對 (, )xy ． （張鵬程供題） 解： 設(shè)整數(shù)對 (, )xy 滿足方程 222 126 200 9 0x xy y? ? ? ? … （ 1），將其 看作 關(guān)于 x 的一元二次方程，其判別式 ? ?2 2 2 24 4 1 2 6 2 0 0 9 5 0 0 ( 4 ) 3 6y y y? ? ? ? ? ? ? ?的值 應(yīng)為一完全平方數(shù)； FEIOB CAD 3 若 224y ? ，則 0?? ； 若 224y ? ，則 2y 可取 2 2 20,1,2 ,3 ，相應(yīng)的 ? 值分別為 8036,7536,6036和 3536 ，它們皆不為平方數(shù)； 因此，僅當(dāng) 224y ? 時(shí)， ? ?2 2 25 0 0 4 3 6 6y? ? ? ? ?為完全平方數(shù)． 若 4?y ，方程（ 1）化為 2 8 7 0xx? ? ? ， 解得 1?x 或 7x? ； 若 4??y ，方程（ 1） 化為 2 8 7 0xx? ? ? ，解得 1??x 或 7x?? ． 綜上可知，滿足原方程的全部整數(shù)對為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1 , 4 , 7 , 4 , 1 , 4 , 7 , 4xy ? ? ? ? ?． 2. 在凸五邊形 ABCDE 中，已知 ,A B D E B C E A A B E A? ? ?，且 , , ,BCDE 四點(diǎn)共圓
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