愛(ài)因斯坦卷積流形的不存在性問(wèn)題(已修改)
2025-01-20 23:23 本頁(yè)面
【正文】 f 愛(ài) 因 斯 坦 卷積 流 形 的 不存 在 性 問(wèn) 題 阮其華 3 ,黃 琴 (莆田 學(xué) 院數(shù)學(xué)系 ,福 建 莆田 351100) 摘 要 : 討 論了帶 有 完備非 緊 基流形且 Ricci 平坦的 愛(ài) 因斯 坦卷 積 流形的存在性 問(wèn) 題 . 證 明了若基流形 上 總數(shù)量曲率 非 正或卷積 函 數(shù)有界 ,且 體 積增長(zhǎng) 滿 足一定 條 件 ,則 不存在 非 平凡的 Ricci 平 坦的愛(ài) 因 斯坦卷 積 流 形 . 關(guān) 鍵詞 :愛(ài) 因斯坦 卷 積流形 。卷積 函 數(shù) 。體 積增長(zhǎng) 中 圖分類號(hào) :O 186 . 16 文 獻(xiàn) 標(biāo)識(shí)碼 : A 文章編號(hào) :043820479 (2022) 0320316203 1 主 要結(jié)果 設(shè) B = ( B n , gB ) 和 F = ( Fm , g F ) 為 兩個(gè)黎 曼 流 形 , f 為 B 上 正 的 光 滑 函 數(shù) . 考 慮 帶 有 投 影 π: B F → B 由 條 件 (i) 推 導(dǎo)得 出 . 因 此條 件 (i) 是本 質(zhì) 的 ,利 用 條 件 (i) 可 以 構(gòu) 造 愛(ài) 因 斯坦 度 量 ,在文 獻(xiàn) [ 5 ] 中 把 滿足 條 件 (i) 的 度 量稱為擬 愛(ài) 因斯坦 度 量 . 若 令 φ= e m ,則 條 件 (iii) 等價(jià)于 1 和 η: B F → F 的 乘 積 流 形 B F , 使 得 卷 積 流 形 B RicB + He ssφ dφ 169。 dφ = λg B . (1) m f F 是乘 積 流 形 B F 賦予 度 量 g = π3 gB + f 2η3 g F , 這里 3 表示拉 回 映 射 . 函 數(shù) f 稱為 卷 積函 數(shù) , 流 形 B 稱 為 基 流 形 , 流 形 F 稱為 纖 維 流 形 . 卷積 流 形 的 定 義是由 Bi shop 和 O′ Neil [ 1 ] 最早引入 ,他 們 是為 了 構(gòu) 造 一些 負(fù) 曲率流形 而 引 入 這 個(gè)定 義 . 卷 積流 形 可以 根 據(jù) 基流 形 和纖維流 形 以及卷 積 函數(shù)的不 同 取法而構(gòu) 造 出 不同 的 度量 ,特別 是 構(gòu) 造愛(ài)因斯 坦 度量 ,具體可以 參 考 文 獻(xiàn) [ 2 ] . 愛(ài) 因斯 坦 度 量 是 指 Ricci 曲 率 是 度 量 的 倍 數(shù) ,而帶有 愛(ài) 因斯坦 度 量的流形 稱 為愛(ài)因斯 坦 流 形 . 文 獻(xiàn) [ 3 ]給出 了 判 定 卷 積流形 是 愛(ài) 因 斯 坦流 形 的充 要 條 件 : 定 理 1 卷 積流 形 上 的 度量 是 愛(ài) 因 斯 坦 度 量 Ric M =λgM 的充要 條 件是 這里需要 說(shuō) 明的 是 文 獻(xiàn) [ 5 ] 中 所 定義 的 擬愛(ài) 因 斯 坦 度 量 與 文 獻(xiàn) [ 627 ] 中的 定 義不 同 ,文 獻(xiàn) [ 627 ] 中 所 定 義的 擬愛(ài)因斯 坦 度量沒(méi)有 He ssia n 項(xiàng) ,只有一 階 項(xiàng) . 另 外 我 們還注意 到 式 (1) 中若 m 趨于 無(wú) 窮大 ,則 RicB + He ssφ = λg B . (2) 在文 獻(xiàn) [ 8 ] 中 把 這 樣的 度 量稱 為 梯 度 Ricci 孤 立 子 ,而且 根 據(jù) λ的 正 、 零 和 負(fù)號(hào) 分 別將梯 度 Ricci 孤 立 子 稱 為收 縮 、 穩(wěn) 定和 擴(kuò)張型 梯 度 Ricci 孤 立 子 . 因 此 可 以 把 擬愛(ài) 因 斯坦 度 量 看 作梯 度 Ricci 孤 立 子 的 推 廣 , 于 是 我們想知道 能否把 梯 度 Ricci 孤 立子的 一些 性 質(zhì) 推 廣 到擬愛(ài)因 斯 坦度 量 . 在文 獻(xiàn) [ 9 ]中 作 者 利用 協(xié) 變導(dǎo) 數(shù) 交換 公 式以 及 第 二 Bia nchi 恒等 式 ,由式 (2) 可 以得到
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