愛因斯坦卷積流形的不存在性問題(存儲版)
【正文】 [ 10 ]中作者證 明 了對任意 緊 流形一定 存 在某一度 量 使 得 以 此 流 形 作 為 基 流形 的 愛因 斯 坦 卷 積流形 是 平 凡 的 . 文 獻 [ 11 ]中作者 考 慮基流形 是 非緊完備 流 形 ,證 明 了 若 總數(shù)量曲 率 非正 ,且體積增 長 至多是二 次 增長 ,則 Ricci 平坦的愛 因 斯坦卷積 流 形 是平 凡 的 . 本文首 先 修 于二 次 增長 ,改進了 文 獻 [ 11 ]中 的 結 果 . 定 理 2 設 M = B n f F m 是 帶 有非緊 完 備基 流 形 對上式從 R1 到 R2 求 積 分 , 這 里 R2 R1 R0 , R0 為 某 一固定的 常 數(shù) ,則 ∫ ∫ ∫ . 且 Ricci 平 坦 的愛 因 斯坦 卷 積流 形 , 若 基流形 上 的 總 R2 1 1 1 數(shù)量 曲 率滿足 :對任意 R ≥ 0 , ∫ R1 V ′( t) 因為 d t ≤ h ( R1 ) . h ( R2 ) ∫ B ( p , R) S B ( x) d x ≤ 0 , (4) R2 1 R2 且體 積 增長滿足 :存 在 某一正數(shù) c 使得 ∫ R1 V ′( t) d t ≥ ( R2 R1 ) 2 ( R1 V ′( t) d t) 1 = V ( R) ≤ cR 2 l n ( 1 + R) . (5) 這里 V ( R) 表示以 p 為 圓 心 , R 為半徑 的 測地 球 B ( p , R) 的體積 , S B ( x) 表示基 流 形上的數(shù) 量 曲 率 ,則此 愛 因 ( R2 R1 ) 2 , V ( R2 ) V ( R1 ) 所以 2 2 斯坦 卷 積流形是 平 凡 的 . 若 定理 2 中式 (4) 改為卷積 函 數(shù)有界 ,定理 2 同 樣 ( R2 R1 ) V ( R2 ) ≤ ( R2 R1 ) V ( R2 ) V ( R1 ) ≤ 1 h ( R1 ) 成 立 . 定 理 3 設 M = B n f F m 是 帶 有非緊 完 備基 流 形 且 Ricci 平坦的愛 因 斯坦 卷 積流 形 ,若 卷 積函 數(shù) 有 界 , 即存 在 某正常數(shù) k 使得 1 . h ( R2 ) 對任意 r R0 , 令 R1 = 2 i r , R2 = 2 i + 1 r ,由 式 ( 5) 可 得 c 1 1 0 f ≤ k , (6) 且體 積 增長滿足式 (5) ,則 此 愛因斯坦 卷 積流形是 平 凡 4l n ( 1 + 2 i +1 r) ≤ h ( 2 i r) h ( 2 i +1 r) . ∞ 的 對 上 式 從 i = 0 到 i = ∞ 求 和 , 因 為 ∑ i = 0 2 定 理 2 和 定理 3 的 證明 1 4l n ( 1 + 2 i +1 r) → ∞ ,所以 對 任 意 r R0 , h ( r) = 0 ,這 我 們先來證 明 定理 2 . 定 理 2 的證明 因為 卷 積流形是 平 坦的愛因 斯 坦 流形 ,所以 由 定理 1 可 知 S B ( x) = m f 1Δ f . 上 式可以改 寫 成 Δ l n f = | Al n f | 2 m 1 S B ( x) . 對 上式兩邊 在
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