愛因斯坦卷積流形的不存在性問題-文庫吧
2024-12-24 23:23 本頁面
【正文】 下 面 方程 (i) RicB =λgB + m He ss f , Δ φ | Aφ| 2 + 2λφ = c. (3) f (ii) ( F , g F ) 是愛因 斯 坦流形使得 Ric F =μg F , (iii) fΔ f + ( m 1) | A f | 2 +λf 2 =μ, 其中 Ric M 和 g M 分別 是 M 上 的 Ricci 曲率和 黎 曼 度 量 , He ss f 和 Δ f 分 別 表 示 函 數(shù) f 的 He ssia n 和 L ap lacia n . 由 文 獻(xiàn) [ 4 ]可知 定 理 1 中條件 (iii) 是多余 的 ,它 可 以利 用 協(xié) 變 導(dǎo) 數(shù) 交 換公 式 以及第 二 Bia nchi 恒 等 式 , 收 稿 日期 :2022206207 基 金 項(xiàng) 目 : 福建 省 青年人 才 項(xiàng) 目 ( 10671130 ) 。 莆 田 市科技 項(xiàng) 目 然 后 利用最大 模 原理得 到 u 必為 常 數(shù) ,所 以 對于 緊 流 形 穩(wěn) 定和擴(kuò)張型 梯 度 Ricci 孤立子 一 定是愛 因斯 坦 度 量 . 在文 獻(xiàn) [ 4 ]中 作者證明 對 于擬愛因 斯 坦度量也 有 類 似 的 性質(zhì) ,這意味 著 愛 因斯 坦 卷積 流 形中 的 卷積 函 數(shù) 是 常 數(shù) ,卷 積流形 是 平 凡 的 . 換 句 話 說 ,不 存 在非 平 凡 的 帶 有非正數(shù) 量 曲 率 的 緊 愛因 斯 坦卷 積 流 形 . 在 文 獻(xiàn) [ 10 ]中作者證 明 了對任意 緊 流形一定 存 在某一度 量 使 得 以 此 流 形 作 為 基 流形 的 愛因 斯 坦 卷 積流形 是 平 凡 的 . 文 獻(xiàn) [ 11 ]中作者 考 慮基流形 是 非緊完備 流 形 ,證 明 了 若 總數(shù)量曲 率 非正 ,且體積增 長 至多是二 次 增長 ,則 Ricci 平坦的愛 因 斯坦卷積 流 形 是平 凡 的 . 本文首 先 修 于二 次 增長 ,改進(jìn)了 文 獻(xiàn) [ 11 ]中 的 結(jié) 果 . 定 理 2 設(shè) M = B n f F m 是 帶 有非緊 完 備基 流 形 對上式從 R1 到 R2 求 積 分 , 這 里 R2 R1 R0 , R0 為 某 一固定的 常 數(shù) ,則 ∫ ∫ ∫ . 且 Ricci 平 坦 的愛 因 斯坦 卷 積流 形 , 若 基流形 上 的 總 R2 1 1 1 數(shù)量 曲 率滿足 :對任意 R ≥ 0 , ∫ R1 V ′( t) 因?yàn)? d t ≤ h ( R1 ) . h ( R2 ) ∫ B ( p , R) S B ( x) d x ≤ 0 , (4) R2 1 R2 且體 積 增長滿足 :存 在 某一正數(shù) c 使得 ∫ R1 V ′( t) d t ≥ ( R2 R1 ) 2 ( R1 V ′( t) d t) 1 = V ( R) ≤ cR 2 l n ( 1 + R) . (5) 這里 V ( R) 表示以 p 為 圓 心 , R 為半徑 的 測地 球 B ( p , R) 的體積 , S B ( x) 表示基 流 形上的數(shù) 量 曲 率 ,則此 愛 因 ( R2 R1 ) 2 , V ( R2 ) V ( R1 ) 所以 2 2 斯坦 卷 積流形是 平 凡 的 . 若 定理 2 中式 (4) 改為卷積 函 數(shù)有界 ,定理 2 同 樣 ( R2 R1 ) V ( R2 ) ≤ ( R2 R1 ) V ( R2 )
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