高等數學上期末復習資料大全(已修改)
2025-01-20 13:46 本頁面
【正文】 高等數學復習 一、極限 取對數，得令解 ,)a rc t a n2( xxy ??取極限得 ,)a rc t a n2l n( ln xxy ??)a rc t a n2l n(l i m lnl i m xxyxx ????????)1()a rc t a n2(l i m 1x????xx?例)0( ??xxxxxx 1a r c t a nln2lnl i m1a r c t a n2lnl i m?????????)00( 2a r c t a n1l i m1a r c t a n11l i m2222?????????????? xxxxxxxx.)a rc t a n2(l i m 2x?????? ex x?故例 2 ???? xxx dttdttt a n0s i n00 s i nt a nl i m )00()(t a n)s i n(t a n)(s i n)t a n(s i nl i m0 ????? xxxxxxxxx30c os)s i n(t a n)t a n(s i nl i m ????xxx t a ns i nl i m0 ???xxx ???0lim .1?).0(1~1x1( 7 )0)(x ~x)(1 ( 6 ) 0)(x x21~c o s x1 ( 3 )0)(x ln~1a ( 5 ) 0)(x ~ )2(0)(xx ~x)l n ( 1 ( 4 ) 0)(xx ~s i n x ( 1 )n2x????????????xxnxaxxt g x??窮小熟記幾個重要的等價無要 例 3 xxdttxtfxx s i n)(l i m 30220? ??======== utx ??222tdt=du xxduufxx s i n)(21l i m 3002???4002)(l i m21xduufxx???320 42)(l i m21xxxfx???220)(l i m41xxfx ??)00(設 f(x)在 x=0的某鄰域內連續(xù) ,且 f(0)=0, 求,1)0( ??f解 xxdttxtfxx s i n)(l i m 30220? ??4)0(f ??0)0()(l i m41220 ???? xfxfx .41?00 如果 f(x)在 [a,b] 上連續(xù) ,則積分上限的函數的導數 ).()()( xfdttfdxdx xa??? ? ?推廣 :當積分上、下限都是的函數時，有以下的求導公式 )()]([)()]([)()()(xxfxxfdttfdxd xx???????????))()()(( xfdttfdxddttfdxd xbbx ???? ??)()]([)()( xxfdttfdxd xa??? ???).()]([)()(xtfdttfdxd bx???????解 則 例 4 求極限 .)(2ta n )1ln (lim00 yxxyyx???例 5 求極限 解 則 )(2t a n)1ln (lim00 yxxyyx??? uuu 2ta n)1ln (lim0??? uuu 2lim0?? .21?二、導數和偏導數 例 6 解 yey x ?? 求),c o s (ln.,c o s,ln)c o s (ln xx evvuuyey ?????dxdvdvdududydxdy ??? xevu ???? )s i n(1xxxeee ???)c o s ()s i n ( ).t a n ( xx ee ???(不寫出中間變量 ) ])c os ([l n ?? xedxdy ])[c os ()c os (1 ?? xx ee)()c os ( )s i n( ??? xxxeee ).t a n ( xx ee??dy及例 7 計算由擺線的參數方程 ???????)c os1(),s i n(tayttax所確定的函數 y=y(x)的導數 解 為整數）nntttatadtdxdtdydxdy,2( 2c o t)c o s1(s i n ??????例 8 .)(),(),(2 dxdytftfytfx存在且不為零，求設設 ??????解 dtdxdtdydxdy ?)()()(2 tftftf???? 2f(t). ?.s i nc os)(dxdyxeytexxyytt給出，求由參數方程練習：設函數????????例 9. 設 由方程 確定 , 求 解法 1 方程兩邊對 x 求導 , 得 利用隱函數求導 , ??xy ?c o sye x ?利用公式 . 令 解法 2 ,yeF xx ?? .c o s xyFy ??
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