【正文】 ： ； :； 群： 高考數(shù)學(xué)必勝秘訣（ 4） 三角函數(shù) 角的概念的推廣 ：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。 象限角的概念 ：在直角坐標(biāo) 系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。 3. 終邊相同的角的表示 ： （ 1） ? 終邊與 ? 終邊相同 (? 的終邊在 ? 終邊所在射線上 )? 2 ( )kk? ? ?? ? ? Z， 注意 ：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等 .如 與角 ?1825? 的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答： 25? ； 536?? ） （ 2） ? 終邊與 ? 終邊共線 (? 的終邊在 ? 終邊所在直線上 ) ? ()kk? ? ?? ? ? Z. （ 3） ? 終邊與 ? 終邊關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ? 2 ( )kk? ? ?? ? ? ? Z. （ 4） ? 終邊與 ? 終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ? 2 ( )kk? ? ? ?? ? ? ? Z. （ 5） ? 終邊與 ? 終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ? 2 ( )kk? ? ? ?? ? ? ? Z. （ 6） ? 終邊在 x 軸上的角可表示為： ,k k Z????； ? 終邊在 y 軸上的角可表示為：,2k k Z???? ? ?； ? 終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為： ,2k kZ?? ??.如 ? 的終邊 與 6? 的終邊關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱，則 ? ＝ ____________。（答： Zkk ?? ,32 ?? ） ? 與 2? 的終邊關(guān)系： 由“兩等分各象限、一二三四”確定 .如 若 ? 是第二象限角，則 2? 是第 _____象限角（答：一、三） ： ||lR?? ，扇形面積公式： 211||22S lR R??? ， 1弧度 (1rad) ? . 如 已知扇形 AOB的周長(zhǎng)是 6cm，該扇形的中心角是 1弧度，求該扇形的面積。（答： 2 2cm ） 任意角的三角函數(shù)的定義： 設(shè) ? 是任意一個(gè)角， P(, )xy 是 ? 的終邊上的任意一點(diǎn)（異于 原 點(diǎn) ）， 它 與 原 點(diǎn) 的 距 離 是 220r x y? ? ? ， 那 么 si n , co syxrr????，? ?tan , 0y xx? ??， cot xy?? ( 0)y? ， sec rx?? ? ?0x? ， ? ?csc 0r yy? ??。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn) P的位置無(wú)關(guān)。 如（ 1） 已知角 ? 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(5，－ 12)，則 ?? cossin ? 的值為＿＿。（答： 713? ）； （ 2） 設(shè) ? 是第三、四象限角，mm??? 4 32sin? ，則 m 的取值范圍是 _______（答：（－ 1， )23 ）； （ 3） 若 0|c os| c ossin |sin| ?? ???? ，試判斷 )tan (co s)co t(sin ?? ? 的符號(hào)（答：負(fù)） ： 正弦線 MP“站在 x 軸上 (起點(diǎn)在 x軸上 )”、余弦線 OM“躺在 x 軸上 (起點(diǎn)是原點(diǎn) )”、正切線 AT“站在點(diǎn) (1,0)A 處 (起點(diǎn)是 A )” .三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三y T A x α B S O M P 2 角函數(shù)值的大小和解三角不等式 。 如（ 1） 若 08? ?? ? ? ，則 sin , cos , tan? ? ?的大小關(guān)系為 _____(答： tan sin cos? ? ???)； （ 2） 若 ? 為銳角，則 ,sin , tan? ? ? 的 大 小 關(guān) 系 為 _______ （答： si n tan? ? ??? ）； （ 3 ） 函數(shù))3s i n2l g (c o s21 ???? xxy 的定義域是 _______（答： 2( 2 , 2 ] ( )33k k k Z????? ? ?） ： 30176。 45176。 60176。 0176。 90176。 180176。 270176。 15176。 75176。 sin? 21 22 23 0 1 0 － 1 624? 624? cos? 23 22 21 1 0 － 1 0 624? 624? tan? 33 1 3 0 0 2 3 2+ 3 cot? 3 1 33 0 0 2+ 3 2 3 9. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ： （ 1）平方關(guān)系： 2 2 2 2 2 2sin c os 1 , 1 ta n se c , 1 c ot c sc? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 2）倒數(shù)關(guān)系： sin? csc? =1,cos? sec? =1,tan? cot? =1, （ 3）商數(shù)關(guān)系： si n c o sta n , c o tc o s si n?????? 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在 運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要 根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能 地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。 如（ 1） 函數(shù) sin tancos coty ???? ? 的值的符號(hào)為 ____（答：大于 0）； （ 2） 若 ?220 ?? x ，則使 xx 2co s2sin1 2 ?? 成立的 的取值范圍是 ____（答：[0, ]4? ],43[ ?? ）； （ 3） 已知 53sin ??? mm? ， )2(524c os ???? ????? m m ，則 ?tan ＝ ____（答： 125? ）；（ 4） 已知 11tantan ????? ，則 ?? ?? cossin cos3sin ?? ＝ ____； 2c o ss ins in 2 ?? ??? ＝_________（答： 35? ； 513 ）； （ 5） 已知 a??200sin ，則 ?160tan 等于 A、21 aa?? B、21 aa? C、 aa21?? D、 aa21? （答： B）； （ 6） 已知 xxf 3cos)(cos ? ，則 )30(sin ?f 的值為 ______（答：－ 1）。 3 （ 2k??? ） 的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì) k 而言，指 k 取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí) 可把 ? 看成是銳角 ） .誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（ 1）負(fù)角變正角，再寫(xiě)成 2k? +? ,02???? ； (2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。 如（ 1） 97c o s ta n ( ) si n 2 146?? ?? ? ?的值為 ________（答： 23? ）； （ 2） 已知 54)540sin( ????? ，則 ?? )270cos( ?? ______，若 ? 為第二象限角，則?? ??? )180t a n( )]360c os ()180[s i n( 2??? ? ?? ________。（答： 54? ； 1003? ） 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ? ?sin sin c o s c o s sin sin 2 2 sin c o s令 ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ?2222222c os c os c os si n si n c os 2 c os si n2 c os 1 1 2 si nt a n t a n 1+c os2t a n c os1 t a n t a n 21 c os2si n22 t a nt a n 21 t a n令　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 ＝　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＝　 　 　??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?????????? ? ???? ? ?? ? ? ? ??? ? ????? 如（ 1） 下列各式中，值為 12 的是 A、 15 15sin cos B、 2212 12cos sin??? C、222 51 22 5tan .tan .? D、 1 302cos? （答： C）； （ 2） 命題 P： 0tan( A B )??，命題 Q： 0tan A tan B??，則 P 是 Q 的 A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件（答： C）； （ 3） 已知 35s in ( ) c o s c o s ( ) s in? ? ? ? ? ?? ? ? ?，那么 2cos ? 的值為 ____（答： 725 ）；（ 4） 1310 80sin sin? 的值是 ______（答： 4）； (5)已知 0tan110 a? ，求 0tan50 的值（用 a表示）甲求得的結(jié)果是 313a a??，乙求得的結(jié)果是 212aa? ，對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是 ______（答：甲、乙都對(duì)） 12. 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是： 一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之 間的關(guān)系，注意角的一些常用變式， 角的變換是三角函數(shù)變換的核心！ 第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。 基本的技巧有 : （ 1）巧變角 （已知角與 特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換 . 如 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ?，2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?， 2 2???? ?? ? ? ， ? ? ? ?2 2 2? ? ? ???? ? ? ? ?等）， 4 如（ 1） 已知 2tan( ) 5????， 1tan( )44?? ??，那么 tan( )4??? 的值是 _____（答： 322 ）；（ 2） 已知 0 2?? ? ?? ? ? ?，且 129cos( )?? ? ? ?， 223sin( )? ???，求 cos( )??? 的值 （答： 490729 ）； （ 3） 已知 ,??為銳角， si n , cosxy????， 3cos( ) 5??? ? ?，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____（答： 23 4 31 ( 1 )5 5 5y x x x? ? ? ? ? ?） (2)三角函數(shù)名互化 (切割化弦 )， 如（ 1） 求值 si n 50 (1 3 ta n 10 )? （答： 1）； （ 2） 已 知 s in c o s 21 , ta n ( )1 c o s 2 3?? ??? ? ? ? ?? ，求 tan( 2 )??? 的值（答： 18 ） (3)公式變形使用 （ tan tan??? ? ?? ?ta n 1 ta n ta n? ? ? ??? 。 如（ 1） 已知 A、 B 為銳角，且滿足 t an t an t an t an 1A B A B? ? ?，則 cos( )AB＝ _____（答： 22? ）； (2)設(shè) ABC? 中， 33tan A tan B tan A tan B? ? ?， 34sin Acos A ? ，則此三角形是 ____三角形 （答：等邊） (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升 (降冪公式 )： 2 1 cos 2cos 2 ?? ?? ， 2 1 cos 2si n 2 ?? ?? 與升冪公式： 21 cos 2 2 cos????， 21 cos 2 2 si n????)。 如 (1)若 32( , )? ? ?? ，化簡(jiǎn)1 1 1 1 22 2 2 2 cos ??? 為 _____（答： sin2? ）； （ 2） 函數(shù) 25 5 3f ( x ) sin x c os x c os x?? 5 32 ( x R)??的單調(diào)遞增區(qū)間為 ___________（答： 51 2 1 2[ k ,k ] ( k Z )????? ? ?） (5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化 (對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同 )。 如（ 1） tan (cos si n )? ? ?? sin tancot csc???? ? （答： sin? ）； （ 2） 求證：21 ta n1 sin 21 2 sin 1 ta n22?????????； （ 3） 化簡(jiǎn)：42212 c o s 2 c o s22 ta n ( ) s