【正文】 ( )? ? ? ? ?? ? ? ?， 2 2???? ?? ? ? ， ? ? ? ?2 2 2? ? ? ???? ? ? ? ?等）， 4 如（ 1） 已知 2tan( ) 5????， 1tan( )44?? ??，那么 tan( )4??? 的值是 _____（答： 322 ）；（ 2） 已知 0 2?? ? ?? ? ? ?，且 129cos( )?? ? ? ?， 223sin( )? ???，求 cos( )??? 的值 （答： 490729 ）； （ 3） 已知 ,??為銳角， si n , cosxy????， 3cos( ) 5??? ? ?，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系為______（答： 23 4 31 ( 1 )5 5 5y x x x? ? ? ? ? ?） (2)三角函數(shù)名互化 (切割化弦 )， 如（ 1） 求值 si n 50 (1 3 ta n 10 )? （答： 1）； （ 2） 已 知 s in c o s 21 , ta n ( )1 c o s 2 3?? ??? ? ? ? ?? ，求 tan( 2 )??? 的值（答： 18 ） (3)公式變形使用 （ tan tan??? ? ?? ?ta n 1 ta n ta n? ? ? ??? 。 3 （ 2k??? ） 的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì) k 而言，指 k 取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí) 可把 ? 看成是銳角 ） .誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（ 1）負(fù)角變正角，再寫成 2k? +? ,02???? ； (2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。 75176。 90176。 如（ 1） 若 08? ?? ? ? ，則 sin , cos , tan? ? ?的大小關(guān)系為 _____(答： tan sin cos? ? ???)； （ 2） 若 ? 為銳角，則 ,sin , tan? ? ? 的 大 小 關(guān) 系 為 _______ （答： si n tan? ? ??? ）； （ 3 ） 函數(shù))3s i n2l g (c o s21 ???? xxy 的定義域是 _______（答： 2( 2 , 2 ] ( )33k k k Z????? ? ?） ： 30176。（答： 2 2cm ） 任意角的三角函數(shù)的定義： 設(shè) ? 是任意一個(gè)角， P(, )xy 是 ? 的終邊上的任意一點(diǎn)（異于 原 點(diǎn) ）， 它 與 原 點(diǎn) 的 距 離 是 220r x y? ? ? ， 那 么 si n , co syxrr????，? ?tan , 0y xx? ??， cot xy?? ( 0)y? ， sec rx?? ? ?0x? ， ? ?csc 0r yy? ??。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。： ； :； 群： 高考數(shù)學(xué)必勝秘訣（ 4） 三角函數(shù) 角的概念的推廣 ：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。 象限角的概念 ：在直角坐標(biāo) 系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。（答： Zkk ?? ,32 ?? ） ? 與 2? 的終邊關(guān)系： 由“兩等分各象限、一二三四”確定 .如 若 ? 是第二象限角，則 2? 是第 _____象限角（答：一、三） ： ||lR?? ，扇形面積公式： 211||22S lR R??? ， 1弧度 (1rad) ? . 如 已知扇形 AOB的周長(zhǎng)是 6cm，該扇形的中心角是 1弧度，求該扇形的面積。（答： 713? ）； （ 2） 設(shè) ? 是第三、四象限角，mm??? 4 32sin? ，則 m 的取值范圍是 _______（答：（－ 1， )23 ）； （ 3） 若 0|c os| c ossin |sin| ?? ???? ，試判斷 )tan (co s)co t(sin ?? ? 的符號(hào)（答：負(fù)） ： 正弦線 MP“站在 x 軸上 (起點(diǎn)在 x軸上 )”、余弦線 OM“躺在 x 軸上 (起點(diǎn)是原點(diǎn) )”、正切線 AT“站在點(diǎn) (1,0)A 處 (起點(diǎn)是 A )” .三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三y T A x α B S O M P 2 角函數(shù)值的大小和解三角不等式 。 0176。 15176。 如（ 1） 函數(shù) sin tancos coty ???? ? 的值的符號(hào)為 ____（答：大于 0）； （ 2） 若 ?220 ?? x ，則使 xx 2co s2sin1 2 ?? 成立的 的取值范圍是 ____（答：[0, ]4? ],43[ ?? ）； （ 3） 已知 53sin ??? mm? ， )2(524c os ???? ????? m m ，則 ?tan ＝ ____（答： 125? ）；（ 4） 已知 11tantan ????? ，則 ?? ?? cossin cos3sin ?? ＝ ____； 2c o ss ins in 2 ?? ??? ＝_________（答： 35? ； 513 ）； （ 5） 已知 a??200sin ，則 ?160tan 等于 A、21 aa?? B、21 aa? C、 aa21?? D、 aa21? （答： B）； （ 6） 已知 xxf 3cos)(cos ? ，則 )30(sin ?f 的值為 ______（答：－ 1）。即首先觀察角與角之 間的關(guān)系，注意角的一些常用變式， 角的變換是三角函數(shù)變換的核心！ 第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。 如（ 1） tan (cos si n )? ? ?? sin tancot csc???? ? （答： sin? ）； （ 2） 求證：21 ta n1 sin 21 2 sin 1 ta n22?????????； （ 3） 化簡(jiǎn)：42212 c o s 2 c o s22 ta n ( ) sin ( )44xxxx??????（答： 1cos22 x ） (6)常值變換主要指“ 1”的變換 （ 221 sin cosxx?? 22sec t a n t a n c otx x x x? ? ? ? ta n sin42??? ? ?等 ）， 如 已知 tan 2?? ，求 si n si n c os 3 c os? ? ? ???（答： 35 ） . (7)正余弦“三兄妹 — si n c os si n c osx x x x? 、 ” 的內(nèi)存聯(lián)系 ―― “知一求二”， 5 如（ 1） 若 sin cosx x t??，則 sin cosxx? __（ 答： 2 12t ?? )， 特別提醒 ：這里[ 2, 2]t?? ； （ 2） 若 1( 0 , ) , sin c o s 2? ? ? ?? ? ?， 求 tan? 的值。 1正弦函數(shù) sin ( )y x x R??、余弦函數(shù) cos ( )y x x R??的性質(zhì) ： （ 1）定義域 ：都是 R。 如 (1)若 3sin)( xxf ?? ，則 (1 ) ( 2) ( 3 ) ( 2022 )f f f f? ? ? ?＝ ___（答： 0）； (2) 函數(shù) 4( ) cosf x x? 2sin cosxx? 4sin x? 的最小正周期為 ____（答： ? ）； (3) 設(shè)函數(shù) )52sin(2)( ?? ?? xxf ，若對(duì)任意 Rx? 都有 )()()( 21 xfxfxf ?? 成立，則 || 21 xx ? 的最小值為 ____（答： 2） （ 4）奇偶性與對(duì)稱性 ：正弦函數(shù) sin ( )y x x R??是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ? ?? ?,0k k Z? ? ，對(duì)稱軸是直線 ? ?2x k k Z??? ? ?；余弦函數(shù) cos ( )y x x R??是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是? ?,02k k Z??????????，對(duì)稱軸是直線 ? ?x k k Z???（正 (余 )弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與 x 軸的交點(diǎn)）。 （ 4）函數(shù) si n( )y A x k??? ? ?的圖象與 sinyx? 圖象間的關(guān)系 ： ① 函數(shù) sinyx? 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（ ? 0）或向右 （ ? 0）平移 ||? 個(gè)單位得 ? ?sinyx???的圖象； ② 函數(shù) ? ?sinyx???圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 1? ，得到函數(shù)? ?sinyx????的圖象； ③函數(shù) ? ?sinyx????圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A倍，得到函數(shù) sin( )y A x????的圖象； ④函數(shù) sin( )y A x????圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（ 0k? ）或向下 （ 0k? ），得到 ? ?si ny A x k??? ? ?的圖象。遇到有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？ （ 2）值域是 R，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值； （ 3）周期性：是周期函數(shù)且周期 是 ? ，它與直線 ya? 的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 ? 。但 要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性 。 ）； （ 8） 在△ ABC 中 AB=1， BC=2，則角 C 的取值范圍是 （答： 0 6C ??? ）； （ 9） 設(shè) O 是銳角三角形 ABC 的外心，若 75C?? ，且,AOB BOC C OA? ? ?的面積滿足關(guān)系式 3A O B B O C CO AS S S? ? ???，求 A? （答： 45 ）． ： （ 1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）： arcsina 表示一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 a ,且這個(gè)角在 ,22?????????內(nèi) ( 1 1)a? ? ? 。 cos22C ＋ sinC2cos1 C?＋ sinC （ 2）若函數(shù) 上為單調(diào)函數(shù)，則 a的最大值為 （ 3） 函數(shù) 的圖象的對(duì)稱中心是 。 分析： （ 1）這里 的遞增區(qū)間 的正號(hào)遞減區(qū)間 遞增且 ∴ 應(yīng)填 （ zk? ） （ 2）由 f（ x）遞增得 易見， 由 f（ x）遞減得 當(dāng) k＝ 0時(shí)， 注意到 而不會(huì)屬于其它減區(qū)間 ， 故知這里 a的最大值為 . （ 3）（ ⅰ ）令 ∴ 所給函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（ ， 0） ； （ ⅱ ） ① 解法一（直接尋求） 在 ① 中令 則有 24 ② 又在 ② 中令 k＝ 0得 ， 令 k＝ 1得 ∴ 所求距離為 － 解法二（借助轉(zhuǎn)化）：注意到所求距離等于函數(shù)的最小周期的一半，又由 ① 得這一函數(shù)的最小正周期為 T＝ ，故所求距離為 . （ 4）這里 將這一函數(shù)圖象向左平移 m（ m0）個(gè)單位 ，所得圖象的函數(shù)解析式為 令 則由題設(shè)知 f（ x）為偶函數(shù) f（－ x）＝ f（ x） ∴ 所求 m的最小值為 . （ 5）為使解題的眉目清晰，首先需要認(rèn)定哪個(gè)論斷必須作為條件，哪個(gè)論斷只能作為結(jié)論，哪個(gè)論斷既可作為條件，又可作為結(jié)論；一般地，獨(dú)自決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結(jié)論 .在這里， ③ 必須作為條件，而 ④ 只能作為結(jié)論 .于是這里只需考察 ① 、 ③ ② 、 ④ 與 ② 、 ③ ① 、 ④ 這兩種情形 . （ ⅰ ）考察 ① 、 ③ ② 、 ④ 是否成立 . 由 ③ 得 ，故 ；又由 ① 得 注意到 . ∴ 在 ① 、 ③ 之下， ，易知此時(shí) ② 、④ 成立 . （ ⅱ ）考察 ② 、 ③ ① 、 ④ 是否成立 . 由 ③ 得 ，故 ； 又由 ② 得 25 注意到 . ∴ 在 ② 、 ③ 之下， ，易知此時(shí) ① 、 ④ 成立 . 于是綜合（ ⅰ ）（ ⅱ ）得正確的命題為 ① 、 ③ ② 、 ④ 與 ② 、 ③ ① 、 ④ . 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于（ 4）利用了如下認(rèn)知： ； . 對(duì)于（ 5），認(rèn)定哪個(gè)論斷必須作為條件，哪個(gè)論斷必須作為結(jié) 論是認(rèn)知問(wèn)題和簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵，請(qǐng)大家注意領(lǐng)悟和把握這一環(huán)節(jié) . 例 已知 的最小正周期為 2，當(dāng) 時(shí)， f（ x）取得最大值 2. （ 1）求 f（ x）的表達(dá)式； （ 2）在閉區(qū)間 上是否存在 f（ x）圖象的對(duì)稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說(shuō)明理由 . 分析： 出于利用已知條件以及便于考察 f（ x）的圖象的對(duì)稱軸這兩方面的考慮，先將 f（ x）化為 ＋ k的形式，這是此類問(wèn)題的解題的基礎(chǔ) . 解： （ 1）去 令 ， ，即 則有① 得 ② 又由 ① 知 ，注意到這里 A0且 B0，取輔助 角 ， 則由 ② 得 ③ （ 2）在 ③ 中令 解得 x＝ k＋ 26 解不等式 ④ 注意到 ， 故由 ④ 得 k＝ 5. 于是可知，在閉區(qū)間