轉(zhuǎn)向節(jié)文獻(xiàn)綜述--有限元分析的發(fā)展及應(yīng)用前景(已修改)
2025-01-19 02:26 本頁(yè)面
【正文】 1 有限元分析的發(fā)展及應(yīng)用前景 1 有限元 分析 的發(fā)展及其思想 有限元 分析 的 發(fā)展歷程 20世紀(jì) 60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（ Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法 =Rayleigh Ritz 法＋分片函數(shù)”，即有限元法是 Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿(mǎn)足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的 Rayleigh Ritz 法，有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這 是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。 有限元分析（ FEA， Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再求解。它將求解域看成是由許多稱(chēng)為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的 (較簡(jiǎn)單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿(mǎn)足條件 (如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元的概 念早在幾個(gè)世紀(jì)前就已產(chǎn)生并得到了應(yīng)用，例如用多邊形（有限個(gè)直線單元）逼近圓來(lái)求得圓的周長(zhǎng)，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱(chēng)為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過(guò)短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速?gòu)慕Y(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。 有限元 分析 計(jì)算的思路和做法 目前在工程領(lǐng)域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有：有限元 法、邊界元法、離散單元法和有限差分法，就其廣泛性而言，只要還是有限單位元法。它的基本思想是將問(wèn)題的求解域劃分為一系列的單元，單元之間緊靠節(jié)點(diǎn)相連。單元內(nèi)部的待求量可由單元節(jié)點(diǎn)量通過(guò)選定的函數(shù)關(guān)系差值得到。由于單元形狀簡(jiǎn)單，易于從平衡關(guān)系和能量關(guān)系建立節(jié)點(diǎn)量的方程式，然后將各單元方程組集成總體代數(shù)方程 2 組，計(jì)入邊界條件后可對(duì)方程求解。 對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問(wèn)題的基本步驟通常為： 第一步：?jiǎn)栴}及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近 似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。 第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱(chēng)為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越?。ňW(wǎng)絡(luò)越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。 第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問(wèn)題通?？梢杂靡唤M包含問(wèn)題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。 第四步：?jiǎn)卧茖?dǎo)：對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似 解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱(chēng)剛度陣或柔度陣）。 為保證問(wèn)題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。 對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀
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