【正文】 當(dāng) 時 ,為右導(dǎo)數(shù) 當(dāng) 時 ,為左導(dǎo)數(shù) 一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用 (1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題 (3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用 (2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限 1) 推出三個最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則 1( ) 0 。 ( ln ) 。 ( sin ) c osC x x xx? ? ?? ? ?其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出 。 2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊 函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 。 3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題 . 應(yīng)用 : 2000 0( ( ) ) ( )1 ( ) lim .xf x x x f xfxx??? ? ? ? ???例 設(shè) 存 在 ， 求解 : 原式 = ??????????????? xxfxxxfx )())((lim 02002)( xx ???2)( xx ???)( 0xf ??20( sin c o s )2 ( 1 ) 0 ( 1 ) lim .( 1 ) t a nxxf x xffex?????例 　 若 ， 且 存 在 ， 求220( sin c o s )limxf x xx???解 ： 原 式聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式 220( 1 sin c o s 1 ) ( 1 ) sin c o s 1limsin c o s 1xf x x f x xx x x?? ? ? ? ? ?????1( 1 ) ( 1 )2f ?? ? ? 1 (1 ).2 f ??2()3 ( ) 2 lim 3 , ( 2 ) .2xfxf x x fx? ??? ?例 設(shè) 在 處 連 續(xù) ， 且 求2( 2 ) lim ( )xf f x??解 ： 2()lim [ ( 2 ) ] 0( 2 )xfxxx?? ? ? ??2( ) ( 2 )( 2 ) lim2xf x ffx??? ??2()li m 32xfxx????2,11( ) ( 1 ) , 12,1a x b xf x a b xxx?????? ? ? ???? ??解 ：1 , ( ) 。 1 ( ) 2 .x f x a x f x x??? ? ? ?時 時 ，( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )f f fff????? ??? ????( ) 1f x x ?利 用 在 處 可 導(dǎo) ， 得11 ( 1 )22a b a ba?? ? ? ? ??? ?? ??,.ab確 定 使 其 可 導(dǎo) 并 求 導(dǎo) 數(shù)2 , 1 , ( 1 ) 2 .a b f ?? ? ? ? ?2 , 1()2 , 1xfxxx??? ?? ??1 , ( ) 1 ( ) 2 .x f x a x f x x??? ? ? ?時 ； 時 ，2,11( ) ( 1 ) , 12,1a x b xf x a b xxx?????? ? ? ???? ??( 0 ) 0f ???( ) 0f x x ?討 論 在 處 的 連 續(xù) 性 和 可 導(dǎo) 性 。( ) 0f x x?? 在 處 可 導(dǎo) .1. 正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧 (1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 注意討論 分界點(diǎn) 處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等 (2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)微分法 (3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法 極坐標(biāo)方程求導(dǎo) (4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 (可利用微分形式不變性 ) 轉(zhuǎn)化 (5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法 逐次求導(dǎo)歸納 。 間接求導(dǎo)法 。 利用萊布尼茲公式 . 二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法 s in s ind s in d( ) d( s in )x x x xy e e e e??解 ：s in s ins in d( s in ) c o s d( )x x x x xe e x e e e? ? ? ?s in ( c o s s in c o s ) dx x x xe x e e e x??( 0 )f ??解 ： 由 存 在 ，( 1 ) ( ) 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) , ( 0 )f x x f f f c g??? ? ? ?由 在 連 續(xù) ， 得( 0 ) ( 0 ) ,ff?????(2) 利 用0( ) ( 0 )( 0 ) lim ( 0 )0xg x gfgx??????????20( ) ( 0 )( 0 ) li m0xa x bx c gfbx?? ?? ? ?? ???( 3 ) ( 0 ) ( 0 ) ,ff???? ???利 用0( ) ( 0 )( 0 ) lim ( 0 )0xg x gfgx??????? ??? ?????0( 2 )( 0 ) li m 20xa x b bfax?? ????? ???1 ( 0 )2ag ?????( 0 ) , ( 0 )c g b g ????2 ,0()( ) , 0a x b x c xfxg x x? ? ? ??? ??2 2222 d8 ( ) , .ds in 1 ( 0 1 )x t t yy y xxt y y??? ?? ?? ? ? ? ? ??例 設(shè) 由 確 定 求解 :方程組兩邊對 t 求導(dǎo) ,得 ( 1 ) ( 1 c o s )dy d y d x td t d t t ydx ?? ? ? ??2 2 2 ( 1 )22 c os 01 c osd x d xttd t d td y d y dy ttyd t d t d t y????? ? ? ????????? ? ? ????22( 1 ) ( 1 c os )2 ( 1 )dtdydt t ydy dxdxd x tdtddt ???????????? ? ? ????32( 1 c os ) ( 1 ) sin2 ( 1 ) ( 1 c os )dyy t t ydtty???? ? ????2233( 1 c o s ) 2 ( 1 ) sin2 ( 1 ) ( 1 c o s )y t t yty???? ? ???? 拉格朗日中值定理 )()( bfaf ?三、 微分中值定理及其應(yīng)用 1. 微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)( ?? ?fxyoa b)(xfy ??( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )???? ???f b f a fF b F a Fabafbff???? )()()(?)()()(bfafxxF??10)1(!)1( 1 ))(( ??? ?? nnn xxf ? 柯西中值定理 xxF ?)(?xyoa b)(xfy ? 泰勒中值定理 ))(()()( 000 xxxfxfxf ????nnn xxxf ))(( 00)(!1 ??? ?0?n2. 微分中值定理的主要應(yīng)用 (1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài) (2) 證明恒等式或不等式 (3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論 3. 有關(guān)中值問題的解題方法 利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) . 一般解題方法 : (1)證明含一個中值的等式或根的存在 , (2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) , (3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 , 可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) . 多用 羅爾定理 , 可考慮用 柯西中值定理 . 必須多次應(yīng)用 中值定理 . (4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用 泰勒公式 , (5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng) 放大 或 縮小 的技巧 . 有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理 . 1 ( ) [ 1 , 2 ] , ( 1 ) ( 2 ) 0 ,f x f f??例 若 在 上 二 階 可 導(dǎo) 且2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 , 2 ) ( ) 0 .g x x f x g??? ? ? ? ?, 證 明 ， , 使[ 1 , 2 ] R ( 1 , 2 ) 39。( ) 0 .u g u??證 明 ： 在 上 使 用 定 理 , 使239。( ) 2 ( 1 ) ( ) ( 1 ) 39。( ) ,g x x f x x f x? ? ? ?39。( 1 ) 0 , 39。( ) 0 , [ 1 , ] Rg g u u?? 在 上 使 用 定 理 ,( 1 , 2 ) ( ) 0 .g??? ? ?, 使例 2 設(shè)函數(shù) f (x) 在 [0, 3] 上連續(xù) , 在 (0, 3