[理學(xué)]東南大學(xué)高數(shù)習(xí)題(已修改)
2024-12-20 00:46 本頁(yè)面
【正文】 167。 4. 3 二階線(xiàn)性微分方程 二階線(xiàn)性微分方程的一般形式為（ 1 ）當(dāng) 0)( ?xf 時(shí)，稱(chēng)為 二階線(xiàn)性齊次方程 ， （ 2 ）當(dāng) 0)( ?xf 時(shí)，稱(chēng)為 二階線(xiàn)性非齊次方程 。 )()()()( 21 xfyxayxayxa ???????這類(lèi)方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊的 每一項(xiàng)僅含 yyy 或或 ??? ， 且每項(xiàng)均為 yyy 或或 ??? 的 一次項(xiàng)。 例 1 ．判定下列方程是否是二階線(xiàn)性微分方程。 （ 1 ） 065 ?????? yyy ； （ 2 ） xyyy si n3 ????? ； （ 3 ） 053222??? xdtdxdtxd； （ 4 ） 0c o s ???? yy。 （一） 函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性定義 1 設(shè)函數(shù) )( , ),( ),(21xyxyxym? 在 上區(qū)間 I 有 定義 ，若存在不全為零的常數(shù)mkkk , , ,21? ，使當(dāng) 時(shí) Ix ? ，有 0)()()(2211???? xykxykxykmm? ， 則稱(chēng) 函數(shù) )( , ),( ),(21xyxyxym? 在 上區(qū)間 I 線(xiàn)性相關(guān)。 否則就稱(chēng) )( , ),( ),( 21 xyxyxy m? 在 上區(qū)間 I 線(xiàn) 性無(wú)關(guān)。 167。 若 kxyxy?)()(21（或 kxyxy?)()(12）， 則 與)(1 xy )(2 xy 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 在 I上線(xiàn)性相關(guān) 在 I 上成比例 . )(),( 21 xyxy? )(),( 21 xyxy解 : （方法一） 設(shè) 021 ?? ?? xx xekek ， 即 0)( 21 ??? xkke x ， ∵ 0?? xe ，故 021 ?? xkk ，則必有 021 ?? kk ， ∴ xx xee ?? 與 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 xe ? ， xxe ? 。 （方法二） ∵ 常數(shù)???? 1xxeexx ， ∴ xx xee ?? 與 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 例 1 ． 判別下列兩函數(shù) 是否是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的？ （ 1 ） 若 )()( 21 xyxy 和 是二階線(xiàn)性齊次方程①的兩個(gè)解， 則 )()( 2211 xyCxyCy ?? 仍為方程①的解，其中 21 , CC 為兩個(gè)常數(shù)。 （ 2 ）若 )()( 21 xyxy 和 是二階線(xiàn)性非齊次方程②的兩個(gè)解， 則 )()( 21 xyxyy ?? 為對(duì)應(yīng)的齊次方程①的解。 （二） 二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) 設(shè) 二階線(xiàn)性齊次方程為 0)()()( 21 ?????? yxayxayxa ? ① 二階線(xiàn)性非齊次方程為 )()()()( 21 xfyxayxayxa ??????? ② 定理 1 定理 3 ② 若函數(shù) 是 )( x y ? 二階線(xiàn)性非齊次方程②的一個(gè)特解， 是 )( x Y 方程②所對(duì)應(yīng)的齊次方程①的通解，則 ) ( ) ( ) ( x y x Y x y ? ? ? 是方程 的通解。 定理 2 若 )()( 21 xyxy 和 是二階線(xiàn)性齊次方程①的兩個(gè)線(xiàn)性 無(wú)關(guān)的解，則方程①的通解為 )()( 2211 xyCxyCy ?? ， 其中 21 , CC為任意常數(shù)。 求二階線(xiàn)性非齊次方程通解的一般步驟 ：（ 1 ）求二階線(xiàn)性齊次方程 0)()()( 21 ?????? yxayxayxa ? 的 兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，得該方程的通解 2211 yCyCY ?? 。 （ 2 ）求二階線(xiàn)性非齊次方程 )()()()( 21 xfyxayxayxa ??????? 的一個(gè)特解 ?y ，則二階線(xiàn)性非齊次方程的通解為 ??? yYy 。 上面結(jié)論也適合于一階線(xiàn)性非齊次方程，還可推廣到二階以上的線(xiàn)性非齊次方程。 若 )(1 xy ? 是線(xiàn)性非齊次方程 )()()()( 121 xfyxayxayxa ??????? 的特解， 定理 4 （線(xiàn)性方程特解的疊加原理） )(2 xy ? 是線(xiàn)性非齊次方程 )()()()( 221 xfyxayxayxa ??????? 的特解， 則 ?? ? 21 yy 是線(xiàn)性非齊次方程 )()()()()( 2121 xfxfyxayxayxa ???????? 的特解。 1232 . 1 ,1 , 1xxy x ey e y x? ? ?? ? ? ?例 已知某二階線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)特解：，求該方程的通解。4. 3 .2 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法 若二階線(xiàn)性微分方程為 )( xfcyybya ?????? ，其中 cba , , 均為常數(shù)，則稱(chēng)該方程為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程。 （一）二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的解法將 rxrey ?? ， rxery 2??? ， rxey ? 代入方程①， 0?????? cyybya ， ① 猜想方程①具有 rxey ? 形式的解， 其 中 為待定常數(shù) r ， 得 0)( 2 ??? cbrare rx ， 但 0?rxe ， 故有 02 ??? cbrar ， ② 方程②叫做方程①的 特征方程 。按特征方程的兩個(gè)根 的三種可能情況 , 21 rr ： 1 ． 是兩個(gè)不相等 21 rr ? 的實(shí)根； 2 ． 是兩個(gè)相等 21 rr ? 的實(shí)根； 3 ． ???? ir 1 ， ???? ir 2 是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。 若 是一元 r 二次方程②的一個(gè)根 ， 則 rxey ? 就是 方程①的一個(gè)特解。 ∵xrxree21 , 是方程①的特解， 且xrrxrxreee )( 2121 ?? 不為常數(shù)，它們是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的， 1 ．特征方程的根是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)的情形。2 ．特征方程的根是兩個(gè)相等實(shí)數(shù)的情形。
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