工學(xué)馬氏鏈ppt課件(已修改)
2024-11-15 20:43 本頁面
【正文】 馬氏鏈及其應(yīng)用 我們知道，人壽保險公司最為關(guān)心的是投保人的健康 與疾病以及相應(yīng)的風(fēng)險。通過下面的例子我們來看保險 公司是如何處理這類問題的。 問題的提出 設(shè) 表示年齡的時段，假定在一年中，今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年轉(zhuǎn)為健 康的概率為 假設(shè)一個人在投保時處于健康狀態(tài)，我 們來研究若干年之后他分別處于這兩種狀態(tài)的概率。 1 , 2 , 3 ,t ?, 建模 用隨機(jī)變量 表示第 年的狀態(tài)， nX n12nX ?? ??表示健康， 表示疾病。 1 , 2 , 3 ,n ?以 表示第 年?duì)顟B(tài)為 的概率。即 ? ?n i? n i? ? ? ? .nni P X i? ?? ⑴ 以 表示今年?duì)顟B(tài)處于 明年?duì)顟B(tài)處于 的概率，即 ijp i j? ?1 .ij n np P X j X i?? ? ?由全概率公式得到： ? ? ? ? ? ?1 , , 1 , 2 .n n i i n j ii i p j p i j? ? ?? ? ? ?⑵ 即 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 11 1 2 ,n n npp? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 1 2 .n n npp? ? ?? ??由假設(shè)， 1 1 1 2 2 1 2 20 . 8 , 0 . 2 , 0 . 7 , 0 . 3 ,p p p p? ? ? ?⑶ 再由于投保人處于健康狀態(tài)，即 ? ? ? ?001 1 , 2 0 .????由此得到 ? ?? ?0 1 2 3 41 1 0 .8 0 .7 8 0 .7 7 8 0 .7 7 7 8 7 / 9 .2 0 0 .2 0 .2 2 0 .2 2 2 0 .2 2 2 2 2 / 9nnn???若投保人在開始時處于疾病狀態(tài)，即 則有 ? ? ? ?001 0 , 2 1 .????? ?? ?0 1 2 3 41 0 0 .7 0 .7 7 0 .7 7 7 0 .7 7 7 7 7 / 9 .2 1 0 .3 0 .2 3 0 .2 2 3 0 .2 2 2 3 2 / 9nnn??? 從兩張表中可以看到，無論投保人在初始時處于什么 狀態(tài)，當(dāng)時間趨于無窮大時，該時刻的狀態(tài)趨于穩(wěn)定， 且與初始值無關(guān)。即 ? ? ? ?72l i m 1 , l i m 2 .99nnnn??? ? ? ???1 2 兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 意義 若將眾多投保人處于兩種狀態(tài)的比例，視為投 保人處于兩種狀態(tài)的概率，例如健康人占 3/4，病人占 1/4，即 則同樣可計(jì)算出 ? ? ? ?001 3 / 4 , 2 1 / 4 ,????? ? ? ?72l i m 1 , l i m 2 .99nnnn??? ? ? ??? 由上面的分析可以看出，對于給定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 時的狀態(tài)概率， 趨向于穩(wěn)定值，該 值與初始值無關(guān)，這是馬氏鏈的重要性質(zhì)。 ? ? ? ?1 , 2nn??n ?? 把人的死亡看作第三種狀態(tài)，用 來表示，相 應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率如下圖表示。 3nX ?1 2 31 三種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 仍以 表示狀態(tài) 為 時的概率， 表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概 率，即有 ? ?? ?1 , 2 , 3n ii? ?i ijp11 12 1321 22 2331 32 330. 8 , 0. 18 , 0. 02 ,0. 65 , 0. 25 , 0. 1 ,0 , 1 ,p p pp p pp p p?
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