利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(已修改)
2024-10-31 12:04 本頁面
【正文】 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 教學(xué)目的： 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 教學(xué)重點(diǎn)： 二重積分化為極坐標(biāo)形式 教學(xué)難點(diǎn)： 用極坐標(biāo)表示平面區(qū)域 由扇形面積公式可知其中第 i個(gè)小區(qū)域的面積為 設(shè)??? ?? .s in ,c o s??ry rx ，則 AoDi??irr?ii rrr ???ii ??? ???i???iiiiii rrr ??? ?????????2221)(21iiii rrr ??????? )2(21iiiii rrrr ????????2)(,iii rr ??????利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 .)s i n,c os()( )(21??? ?? ???? ??? r d rrrfd??ADo)(1 ???r )(2 ???r??Dr d r drrf ??? )s i n,c os(二重積分化為二次積分的公式（１） 區(qū)域特征如圖 ,??? ??).()( 21 ???? ?? r例題 區(qū)域特征如圖 ,??? ??).()( 21 ???? ?? r.)s in,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? r d rrrfd??Dr d r drrf ??? )s i n,c os(??AoD )(2 ???r)(1 ???r例題 AoD)(???r.)s i n,c os()(0??? ???? ??? r d rrrfd區(qū)域特征如圖 ,??? ??).(0 ???? r??Dr d r drrf ??? )s i n,c os(??二重積分化為二次積分 ??Dr d r drrf ??? )s i n,c os(.)s i n,c os()(020 ??? ??? ??? r drrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積 .???Dr d r d ??區(qū)域特征如圖 ).(0 ???? rDo A)(???r,2????0二重積分化為二次積分 例 1 寫出積分 ??Ddxdyyxf ),( 的極坐標(biāo)二次積分形式，其中積分區(qū)域,11|),{(2xyxyxD ????? }10 ?? x .1??yx122 ?? yx解 在極坐標(biāo)系下???????s inc o sryrx所以圓方程為 1?r ,直線方程為 ?? c oss i n 1??r ,??Ddxdyyxf ),( .)s i n,c os(20 1c o ssin1? ????????? r drrrfd例題 例 2 計(jì)算 d x d yeDyx?? ?? 22 ，其中 D 是由中心在原點(diǎn)，半徑為 a 的圓周所圍成的閉區(qū)域 .解 在極坐標(biāo)系下D ： ar ??0 ， ???? 20 .d x d yeDyx?? ?? 22 ?? ?? ?? a r r d red0202).1( 2ae ????例題 例 3 求廣義積分 ? ? ?0 2 dxe x .解 }|),{( 2221 RyxyxD ???}2|),{( 2222 RyxyxD ???}0,0{ ?? yx}0,0|),{( RyRxyxS ?????顯然有 21 DSD ??,022 ??? yxe? ? ?? ??1
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