實對稱矩陣與相似對角陣(已修改)
2024-10-30 13:51 本頁面
【正文】 第三節(jié) 實對稱矩陣與相似對角陣 實對稱方陣的特征值與特征向量 實對稱矩陣的正交相似對角化 . 問題與思考 第六章 特征值、特征向量及相似矩陣 【 性質 】 (1) 實對稱矩陣的特征值一定為實數(shù) ； (2) 實對稱矩陣對應于不同特征值的 特征向量必相互正交 ； 設 、 是實對稱矩陣 的兩個特征值 , 1? 2?A證明 是對應的特征向量 ， ,1p ,2p 1??2?則 ,1p1?1pA= A2p 2? 2p= 因 A對稱， 故 T1p1?ATp1TAp )1(T1 p )( 1?TApT1= = = = 且 一、實對稱矩陣的特征值與特征向量 于是 ?2pp T1 1? ?2AppT1 ?)( 2 21 pp T ? 21 pp T2?0)( 2121 ?? ppλλ T即 1?但?2?021 ?pTp故 即 與 正交 . 1p 2p 證畢 故 T1p1?ATp1TAp )1(T1 p )( 1?TApT1= = = = (2) 實對稱矩陣對應于不同特征值的 特征向量必相互正交； .,)(,3(個線性無關的特征向量恰有對應特征值從而的秩則矩陣重根的特征方程的是階對稱矩陣為設 )rrnEAREArAnA????????此定理不予證明 (2) 實對稱矩陣對應于不同特征值的 特征向量必相互正交； (1) 實對稱矩陣的特征值一定為實數(shù) ； 【 性質 】 1。定義 (107頁 ) 如果 n階實方陣 A滿足 ATA= E， AAT= E則稱 A為 正交矩陣 . A的 行 （ 列 ） 向量組都是 單位向量且兩兩正交 . 二、實對稱矩陣的正交相似對角化 復習： 2. 正交矩陣的性質 (1) 將線性無關的向量組 ?1， ?2， … ， ?r正交化 . 令 ?1=?1， ?2 =?2 ?1 ， ????1112,?????3 =?3 ?1 ?2， ????1113,????????2223,???? … … …
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