[理學(xué)]流體力學(xué)第4章-基本方程(已修改)
2025-10-23 21:17 本頁(yè)面
【正文】 1/57 第三章 基本方程組 167。 1 輸運(yùn)定理 167。 2 質(zhì)量守恒定律 167。 3 動(dòng)量方程 167。 4 角動(dòng)量方程 167。 5 能量守恒原理 167。 6 初始條件和邊界條件 2/57 所有的力學(xué)定律 ,都是從 系統(tǒng) 的觀念推導(dǎo)而得的，而以系統(tǒng)為對(duì)象研究流體運(yùn)動(dòng)，就必須隨時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤并識(shí)別邊界，這在實(shí)際流動(dòng)過(guò)程中顯然是很困難的。況且，工程上所關(guān)心的問(wèn)題也不在于跟蹤質(zhì)量確定流體的運(yùn)動(dòng)，而在于確定的設(shè)備空間中流體的流動(dòng)行為。 在工程流體力學(xué)中，更多的是采用以 控制體 為對(duì)象，而如何將基于系統(tǒng)的基本原理表達(dá)成適用于控制體的形式，這就是輸運(yùn)定理所要解決的問(wèn)題。 輸運(yùn)定理 引言 3/57 ： 系統(tǒng)是一團(tuán)確定不變的物質(zhì)的集合。 特點(diǎn)：（ 1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運(yùn)動(dòng)，其形狀、大小可隨 時(shí)間變化； （ 2）系統(tǒng)可以通過(guò)邊界與外界發(fā)生力的作用和能量 交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換，即系統(tǒng)的質(zhì)量是不 變的。 2. 控制體：在空間上體積固定不變的連續(xù)、封閉區(qū)域。 特點(diǎn)：（ 1）控制體的邊界相應(yīng)于坐標(biāo)系是固定不變的； （ 2）控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而 且可以有質(zhì)量的交換。 輸運(yùn)定理 概念 4/57 為了將系統(tǒng)分析法轉(zhuǎn)換成控制體積分析法，我們必須將數(shù)學(xué)導(dǎo)式轉(zhuǎn)換成針對(duì)某一特定的區(qū)域（而非個(gè)別的質(zhì)點(diǎn)）來(lái)作，此變換稱為 雷諾輸運(yùn)定理 (Reynolds transport theorem)，該定理可應(yīng)用在任一基本定律上。 圖 流體實(shí)體容積 取如右圖所示系統(tǒng)，函數(shù) 在整個(gè)系統(tǒng)區(qū)域上是連續(xù)的、單值的、可微的。 ( , )rt?輸運(yùn)定理 推導(dǎo) 5/57 ? ? ? ?? ?? ?0 ,1l i m , ,tV V r t t V r td d V r t t d V r t d Vd t t? ? ??? ????? ? ? ???? ??? ? ?? ?? ?? ?? ?,V r t t V r t tr t d V r t d V??? ? ? ?????輸運(yùn)定理 推導(dǎo) ? ?? ? ? ? dVtdVttrttrVttrV t ?? ????????? ????? ,lim, 0? ?? ? ? ?? ? ? ?dVtrdVtrdVtrVtrVttrV ??? ????? ,,???? ?01l imt VAdV v dAt ???? ? ?? ????? ??????? )( AVV AddVtdVdtd ???dVAddtVAdldV ???? ???? )(6/57 ( ) ( ) ( )V V A A V Ad d V d V d A d A d V d Ad t t t? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?（ 不 定 ） （ 確 定 ） 入 出 （ 確 定 ） 確 定 控制體內(nèi)函數(shù)變化量等于同一空間內(nèi)函數(shù)的時(shí)間不均勻性引起的變化量與控制體界面上由于對(duì)流引起的函數(shù)變化量之和。這就是著名的輸運(yùn)定理，是由歐拉首先提出的。 輸運(yùn)定理 推導(dǎo) dV dVdV7/57 第三章 基本方程組 167。 1 輸運(yùn)定理 167。 2 質(zhì)量守恒方程 167。 3 動(dòng)量方程 167。 4 角動(dòng)量方程 167。 5 能量守恒方程 167。 6 初始條件和邊界條件 8/57 質(zhì)量守恒原理指物體質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)中保持不變，換言之，物體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率為零。 如右圖所示，在考察的物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)，圍繞任意點(diǎn)取一無(wú)限小體積。 圖 流動(dòng)流體的物質(zhì)體積 質(zhì)量守恒定律 推導(dǎo) 9/57 輸出控制體質(zhì)量流量 輸出控制體凈質(zhì)量流量 輸入控制體質(zhì)量流量 控制體內(nèi)的質(zhì)量變化量 ?? 0?對(duì)于系統(tǒng)，由質(zhì)量守恒定律有： 應(yīng)用歐拉輸運(yùn)定理，以控制體為研究對(duì)象時(shí)質(zhì)量守恒方程 ? ???trVdVdtd,0?質(zhì)量守恒定律 推導(dǎo) ??? ????AVVAdVdVdtddVdtd 0???????? ??????? )( AVV AddVtdVdtd ???Ad t d A d t??? ??10/57 0???? ??AVv d AdVt ??局部質(zhì)量變化率 對(duì)流質(zhì)量通量 控制體內(nèi)質(zhì)量隨時(shí)間的變化率與通過(guò)控制面的對(duì)流質(zhì)量通量之和為零。 質(zhì)量守恒定律 推導(dǎo) 11/57 運(yùn)用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式： ? ? 0 di v ???? ??? ?t0 di v g r a d ????? ????? ??t質(zhì)量守恒定律的微分形式： ? ? 0??????? ???? dVvd ivtV ??或 對(duì)不可壓縮流體， ，則方程簡(jiǎn)化為 0divv ?0t?? ??質(zhì)量守恒定律 微分形式 ? ? 0di v v dVt? ???????????12/57 ? ? ? ? ? ? 0???????????? zyx vzvyvxt ????0nVVd V v d At? ?? ????? nv直角坐標(biāo)系中質(zhì)量守恒方程為： 柱坐標(biāo)系中積分形式質(zhì)量守恒方程為： ?? s inc o s yxr vvv ????? c oss in yx vvv ???zv? ? ? ? ? ? 011 ???????????? zr vzvrvrrrt ????? ?柱坐標(biāo)系中質(zhì)量守恒微分方程為： 質(zhì)量守恒定律 柱坐標(biāo)形式 13/57 第三章 基本方程組 167。 1 輸運(yùn)定理 167。 2 質(zhì)量守恒方程 167。 3 動(dòng)量方程 167。 4 角動(dòng)量方程 167。 5 能量守恒方程 167。 6 初始條件和邊界條件 14/57 對(duì)于系統(tǒng) ，由動(dòng)量守恒定律（牛頓第二定律）有： 應(yīng)用歐拉輸運(yùn)定理，以控制體為研究對(duì)象時(shí)動(dòng)量守恒方程 ? ?,V r td dV Fdt ?? ? ??動(dòng)量方程 推導(dǎo) 輸出控制體動(dòng)量流量
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