第二節(jié)、二重積分的性質(zhì)(已修改)
2024-10-27 12:29 本頁面
【正文】 第二節(jié)、二重積分的性質(zhì) 假設(shè)以下各積分存在 性質(zhì) 1 ?? ???D Ddyxfkdyxkf ?? ),(),(k為常數(shù) 性質(zhì) 2 ?? ?? ?????D D DdyxgDdyxfdyxgyxf ??? ),(),()],(),([性質(zhì) 3 （可加性） ??? 2121 , DDDDD ?? 且若（除分界線） ?? ?? ????D D Ddyxfdyxfdyxf1 2),(),(),( ???性質(zhì) 4 如果 Dyxyxf ?? ),(1),(?? ?? ??D DDddyxf )(),( 的面積則 ???性質(zhì) 5 (不等式性 ) 如果在 D上 ),(),( yxyxf ???? ???D Ddyxdyxf ??? ),(),(則特別的 : ?? ??Ddyxyxf 0),(0),( ??則若???? ?DDdyxfdyxf ?? ),(),(而性質(zhì) 6 (估值性 ) 設(shè) ),(m i n),(m a x),(),(yxfmyxfMDyxDyx ????的面積則是 D? ?? ?? D Mdyxfm ??? ),(性質(zhì) 7 (積分中值定理 ) 設(shè) f(x,y)在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , ,的面積是 D?則至少存在一點(diǎn) ?? ??DfdyxfD??????),(),(,),( 使得證明： mMDyxf ,),( ??上連續(xù)，在?Mdyxfm D ?? ????),( 即由閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)的介值定理 ,至少存在一點(diǎn) ),(),(),( ?????? fdyxfD D ?? ??使證畢。即 ???? ),(),( fdyxfD????? ?? D Mdyxfm ??? ),(三、舉例 例 設(shè)區(qū)域 D: 0,1,1 ?????? xyxDyx ：??? dyxdyxydxD DD?? ?????? 222 )2(,)1( 計(jì)算211 DDD ??）劃分（yxyxfxD2),( ?函數(shù)軸對(duì)稱，關(guān)于?是變量 y的奇函數(shù) X Y O 1D2D1?? yx1??xy1?? yx1??? yx解： yxyxfyD 2),()2( ?軸對(duì)稱，關(guān)于?是變量 x的偶函數(shù) ?? ?????D Dydxydx ?? 22 2021222 ???? ???? ?? ??? dyxdyxydxDD D注：上述性質(zhì)，稱為二重積分的奇偶對(duì)稱性對(duì) 于一般函數(shù)也成立 例 估計(jì)下列積分值 4:),10()2(10,10:,)()1(22 ???????????????yxDyxIyxDdyxxyIDD?20,1,2)(01 ??????? Iyxxy ??）（（ 2）求 D上的最大最小值 ?????????1),(1),(10),(1yxfyxf
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