【正文】 . . 高中數(shù)學(xué) 必修 1 知識點 第一章 集合與函數(shù)概念 〖 〗集合 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性 . （ 2）常用數(shù)集及其記法 N 表示自然數(shù)集， N ? 或 N? 表示正整數(shù)集， Z 表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R 表示實數(shù)集 . （ 3）集合與元素間的關(guān)系 對象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM? ，或者 aM? ，兩者必居其一 . （ 4）集合的表示法 ①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?. ②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合 . ③描述 法： {x |x 具有的性質(zhì) }，其中 x 為集合的代表元素 . ④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合 . （ 5）集合的分類 ①含有有限個元素的集合叫做有限集 .②含有無限個元素的集合叫做無限集 .③不含有任何元素的集合叫做空集(? ). 【 】集合間的基本關(guān)系 （ 6）子集、真子集、集合相等 名稱 記號 意義 性質(zhì) 示意圖 子集 BA? （或)AB? A 中的任一元素都屬于 B (1)A? A (2) A?? (3)若 BA? 且 BC? ，則 AC? (4)若 BA? 且 BA? ，則 AB? A(B)或B A 真子集 A??B （或 B??A） BA? ，且 B 中至少有一元素不屬于 A （ 1） A???（ A 為非空子集） (2)若 AB??且 BC??，則 AC?? B A 集合 相等 AB? A 中的任一元素都屬于 B， B 中的任一元素都屬于 A (1)A? B (2)B? A A(B) （ 7）已知集合 A 有 ( 1)nn? 個元素，則 它 有 2n 個 子集，它有 21n? 個 真子集，它有 21n? 個非空 子集，它有 22n? 非空真 子集 . 【 】集合的基本運算 （ 8） 交集、并集、補集 名稱 記號 意義 性質(zhì) 示意圖 交集 AB { | ,x x A? 且}xB? （ 1） A A A? （ 2） A ??? （ 3） A B A? A B B? BA . . 并集 AB { | ,x x A? 或}xB? （ 1） A A A? （ 2） AA?? （ 3） A B A? A B B? BA 補集 UA240。 { | , }x x U x A??且 1 ()UAA??240。 2 ()UA A U?240。 【補充知識】 含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 1）含絕對值的不等式的解法 不等式 解集 | | ( 0)x a a?? { | }x a x a? ? ? | | ( 0)x a a?? |x x a?? 或 }xa? | | , | | ( 0 )a x b c a x b c c? ? ? ? ? 把 ax b? 看 成 一 個 整 體 ， 化 成 ||xa? ，| | ( 0)x a a??型不等式來求解 （ 2）一元二次不等式的解法 判別式 2 4b ac?? ? 0?? 0?? 0?? 二次函數(shù)2 ( 0 )y a x b x c a? ? ? ?的圖象 O 一元二次方程2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的根 21,2 42b b a cx a? ? ??（其中 12)xx? 12 2bxx a? ?? 無實根 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的解集 1{|x x x? 或 2}xx? {|x }2bx a?? R 2 0 ( 0 )a x b x c a? ? ? ?的解集 12{ | }x x x x?? ? ? 〖 〗函數(shù)及其表示 【 】函數(shù)的概念 （ 1） 函數(shù) 的概念 ①設(shè) A 、 B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f ，對于集合 A 中任何一個數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) ()fx和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應(yīng)法則 f ）叫做集合 A 到 B 的一( ) ( ) ( )U U UA B A B?痧 ?( ) ( ) ( )U U UA B A B?痧 ?. . 個函數(shù)，記作 :f A B? ． ②函數(shù)的三要素 :定義域、值域和對應(yīng)法則 ． ③只有 定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù) ． （ 2）區(qū)間的概念及表示法 ①設(shè) ,ab是兩個實數(shù)，且 ab? ，滿足 a x b?? 的實數(shù) x 的集合叫做閉 區(qū)間，記做 [, ]ab ；滿足 a x b?? 的實數(shù) x 的集 合叫做開 區(qū)間，記做 (, )ab ；滿足 a x b?? ，或 a x b?? 的實數(shù) x 的集合叫做半開半 閉 區(qū)間，分別記做 [,)ab ， (, ]ab ；滿足 , , ,x a x a x b x b? ? ? ?的實數(shù) x 的 集 合 分 別 記 做[ , ) , ( , ) , ( , ] , ( , )a a b b? ? ? ? ? ? ? ?． 注意： 對于集合 { | }x a x b?? 與區(qū)間 (, )ab ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須 ab? ． （ 3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： ① ()fx是整式時，定義域是全體實數(shù) ． ② ()fx是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù) ． ③ ()fx是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合 ． ④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于 1． ⑤ tanyx? 中， ()2x k k Z??? ? ?． ⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 ． ⑦若 ()fx是由有限個基本初等函數(shù) 的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集 ． ⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知 ()fx的定義域為 [, ]ab ，其復(fù)合函數(shù) [ ( )]f g x 的定義域應(yīng)由不等式 ()a g x b??解出 ． ⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論 ． ⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符 合問題的實際意義 ． （ 4）求 函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù) 值域與 最值的常用方法： ①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到 值域或最值 ． ②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值． ③判別式法：若函數(shù) ()y f x? 可以化成一個系數(shù)含有 y 的關(guān)于 x 的二次方程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y? ? ?，則在 ( ) 0ay? 時，由于 ,xy為實數(shù)，故必須有 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y? ? ? ? ?，從而確定函數(shù)的值域或最值 ． . . ④ 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值 ． ⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目 的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題． ⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值． ⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值． ⑧函數(shù)的單調(diào)性法． 【 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 ． 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 ． 列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 ． 圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 ． （ 6）映射的概念 ①設(shè) A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應(yīng)法則 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，記作:f A B? ． ②給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a A b B??．如 果元素 a 和元素 b 對應(yīng)，那么我們把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 〖 〗函數(shù)的基本性質(zhì) 【 】單調(diào)性與最大（?。┲? （ 1）函數(shù)的單調(diào)性 ①定義及 判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義 圖象 判定方法 函數(shù)的 單調(diào)性 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x x2,當(dāng) x． 1． x． ． 2． 時，都有 f(x． ． ． 1． )f(x． ． ． ． ． 2． )． ，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 增函數(shù)． ． ． ． x 1 x 2y= f(X )xyf( x )1f( x )2o （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性 （ 3）利用函數(shù)圖象（在某個 區(qū)間 圖 象上升為增） （ 4）利用 復(fù)合函數(shù) 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x x2，當(dāng) x． 1． x． ． 2． 時，都有 f(x． ． ． 1． )f(x． ． ． ． ． 2． )． ，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 減函數(shù)． ． ． ． y= f(X )yxo x x 2f( x )f( x )211 （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性 （ 3）利 用函數(shù)圖象（在某個 區(qū)間 圖 象下降為減） （ 4）利用 復(fù)合函數(shù) ②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)． . . y x o ③對于復(fù)合函數(shù) [ ( )]y f g x? ，令 ()u g x? ，若 ()y f u? 為增， ()u g x? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為增；若()y f u? 為減， ()u g x? 為減，則 [ ( )]y f g x? 為增；若 ()y f u? 為增， ()u g x? 為減，則 [ ( )]y f g x?為減；若 ()y f u? 為減， ()u g x? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為 減． （ 2）打“ √”函數(shù) ( ) ( 0)af x x ax? ? ?的圖象與性質(zhì) ()fx分別在 ( , ]a??? 、 [ , )a?? 上為增函數(shù)，分別在 [ ,0)a? 、 (0, ]a 上為減函數(shù) ． （ 3）最大（?。┲刀x ① 一般地，設(shè)函數(shù) ()y f x? 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) M 滿足：（ 1）對于任意的 xI? ，都有 ()f x M? ； （ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x M? ．那么，我們稱 M 是函數(shù) ()fx 的最大值，記作max()f x M? ． ②一般地，設(shè)函數(shù) ()y f x? 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) m 滿足：（ 1）對于任意的 xI? ，都有 ()f x m? ；（ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x m? ．那么，我們稱 m 是函數(shù) ()fx的最小值，記作 max()f x m? ． 【 】奇偶性 （ 4）函數(shù)的奇偶性 ①定義及 判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義 圖象 判定方法 函數(shù)的 奇偶性 如果對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(． ． － ． x)=． ． ． － ．f(x)． ． ． ． ,那么函數(shù) f(x)叫做 奇函． ．?dāng)?shù) ． ． （ 1）利用定義（要先判斷 定義域是否關(guān)于原點對稱） （ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點對稱） 如果對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(． ． － ． x)=． ． ． f(x)． ． ． ． ,那么函數(shù) f(x)叫做 偶函數(shù)． ． ． ． （ 1）利用定義（要先判斷 定義域是否關(guān)于原點對稱） （ 2）利用圖象（圖象關(guān)于 y軸對稱） ②若函數(shù) ()fx為奇函數(shù)，且在 0x? 處有定義，則 (0) 0f ? ． ③奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反． ④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)． . . 〖補充知識〗函數(shù)的圖象 （ 1）作圖 利用描點法作圖： ①確定函數(shù)的定義域；