【正文】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 第一部分 行列式 本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。從考試大綱來(lái)看。雖然只占 13%左右。但在其他章。的試題中都有必須用到行列式計(jì)算的內(nèi)容。故這部分試題在試卷中所占比例遠(yuǎn)大于 13%。 大綱中規(guī)定的 比例 直接考行列式這一章的 13%左右 11% 11% 15% 再加上其余各章中必須應(yīng)用行列式計(jì)算的 34% 29% 21% 行列式的定義 二階行列式與三階行列式的定義 一、二元一次方程組和二階行列式 例 的解。 【答疑編號(hào) 12020101】 解：應(yīng)用消元法得 當(dāng) 時(shí)。得 同理得 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 定義 稱 為二階行列式。稱 為二階行列式的值。 記 為 。 于是 由此可知。若 。則二元一次方程組的解可表示為： 例 2 【答疑編號(hào) 12020102】 二階行列式的結(jié)果是一個(gè)數(shù)。我們稱它為該二階行列式的 值。 二、三元一次方程組和三階行列式 考慮三元一次方程組 希望適當(dāng)選擇 。使得當(dāng) 后將 消去。得一元一次方程 若 ，能解出 其中 要滿足 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 為解出 。在（ 6），（ 7）的兩邊都除以 得 這是以 為未知數(shù)的二元一次方程組。 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 定義 在三階行列式 中，稱 于是原方程組的解為 。 類似地得 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。 例 3 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020103】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 例 4 （ 1） 【答疑編號(hào) 12020104】 （ 2） 【答疑編號(hào) 12020105】 例 5 當(dāng) x取何值時(shí)， ？ 【答疑編號(hào) 12020106】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 為將此結(jié)果推廣到 n元一次方程組。需先將二階、三階行列式推廣到 n階行列式。 階行列式的定義 定義 當(dāng) n時(shí)，一階行列式就是一個(gè)數(shù)。當(dāng) 時(shí) ，稱 為 n階行列式。 定義 （其所在的位置可記 為 的余子式 的代數(shù)余子式 。 定義 為該 n階行列式的值。即 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 。 容易看出，第 j列元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 j列元素?zé)o關(guān)；類似地，第 i行元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 i行元素?zé)o關(guān)。 n階行列式為一個(gè)數(shù)。 例 6 求出行列式 第三列各元素的代數(shù)余子式。 【答疑編號(hào) 12020107】 例 7 （上三角行列式） 【答疑編號(hào) 12020108】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 行列式按行（列）展 開 定理 （行列式按行（列）展開定理） 例 1 下三角行列式＝主對(duì)角線元素的乘積。 【答疑編號(hào) 12020201】 例 2 計(jì)算行列式 【答疑編號(hào) 12020202】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 例 3 求 n階行列式 【答疑編號(hào) 12020203】 小結(jié) 的余子式 和代數(shù)余子式 的定義。 。 。即 。 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ （列）展開的定理和應(yīng)用這個(gè)定理將行列式降階的方法。 作業(yè) p8 習(xí)題 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 5）（ 6）， 3 作業(yè) p11習(xí)題 1， 2， 3（ 1），（ 2）， 4 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 行列式的性質(zhì) 給定行列式 將它的行列互換所得的新行列式稱為 D的轉(zhuǎn)置行列式，記為 或 。 性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即 性質(zhì) 2 用數(shù) k乘行列式 D的某一行（列）的每個(gè)元素所得的新行列式等于 kD。 推論 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。 推論 2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為 0。 性質(zhì) 3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號(hào)。 以二階為例 設(shè) 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 推論 3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。 證 設(shè) 中，第 i行與第 j行元素完全相同，則 所以， D=0。 性質(zhì) 4 若行列式某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。 性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個(gè)元素的和，則行列式可分解為兩個(gè)行列式的和，即 只要看 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每 一行。 可見 性質(zhì) 6 把行列式的某一行（列） 的每個(gè)元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。 證 . 行列式的計(jì)算 人們認(rèn)識(shí)事物的基本方法是化未知為已知。 對(duì)行列式，先看何為已知，（ 1）二，三階行列式的計(jì)算；（ 2）三角形行列式的計(jì)算。 因此，我們計(jì)算行列式的基本方法是利用行列式的性質(zhì)把行列式化為三角形，或降階。 例 1 計(jì)算 【 答疑編號(hào) 12020204】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 在行列式計(jì)算中如何造零是個(gè)重要技巧，主要是應(yīng)用性質(zhì) 6。 例 2 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020205】 例 3 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020206】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 例 4 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020207】 例 5 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020208】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 擴(kuò)展 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020209】 例 6 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020301】 方法 1 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 方法 2 擴(kuò)展：計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020302】 例 7 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020303】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 例 8 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020304】 擴(kuò)展：計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020305】 例 9 計(jì)算 n階行列式 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 【答疑編號(hào) 12020306】 解 按第一列展開，得 例 10 范德蒙行列式 ?? 【答疑編號(hào) 12020307】 . 【答疑編號(hào) 12020308】 例 11 計(jì)算 【答疑編號(hào) 12020309】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 例 12 證明 【答疑編號(hào) 12020310】 小結(jié) ； （ 1）低階的數(shù)字行列式和簡(jiǎn)單的文字行列式； （ 2）各行元素之和為相同的值的情況 （ 3）有一行（列）只有一個(gè)或兩個(gè)非零元的情況 作業(yè) p22 習(xí)題 1（ 1）（ 3）， 2， 5， 6（ 1）（ 3）（ 4）（ 5）（ 10）（ 11）（ 12） 克拉默法則 這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到 n個(gè)未知數(shù)， n個(gè)方程的線性方程組。為此先介紹下面線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 的定理。 定理 對(duì)于 n階行列式 證 由定理 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式 類似地，可證明該定理的剩余部分。 定理 如果 n個(gè)未知數(shù)， n個(gè)方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 則方程組有惟一的解 : 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 其中 證明從略 例 【答疑編號(hào) 12020401】 把克拉默法則應(yīng)用到下面的齊次方程組有 定理 如果 n個(gè)未知數(shù) n個(gè)方程的齊次方程組 的系數(shù)行列式 D≠0 ，則該方程組只有零解，沒有非零解。 推論 如果齊次方程組 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ═════════════════════════════════════════════════════════ 有非零解，則必有系數(shù)行列式 D=0。 事實(shí)上，以后我們將證明對(duì)于由 n個(gè)未知數(shù) n個(gè)方程的齊次方程組，系數(shù)行列式 D=0，不僅是該齊次方程組有非零解的必要條件，也是充分條件 ,即若系數(shù)行列式 D=0,則齊次方程組必有非零解。 例 2 判斷線性方程組 是否只有零解 【答疑編號(hào) 12020402】 例 3 當(dāng) k為何值時(shí)，齊次方程組 沒有非零解？ 【答疑編號(hào) 12020403】 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 復(fù)習(xí)資料由北京自考吧整理提供 ════════