【正文】 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 1 美式看跌期權的懲罰方法 摘要 利用懲罰函數，將美式期權的變分不等式模型 { { ， ( ) } ( ) ( ， ) ( ) ， ( ) 轉換為： ( ) [ ∏ ( ) ] 再離散化為： ( ) ( ) 4 5( ) [ ∏ ( ) ] ( ) ( ) 在本論文中將不做變換 : ,做差分的時候，網格會減小。當 S 時，網格減小會較為明顯，對于取值會較為準確。另外，美式看跌期權中每一個格點的地方都需要計算 V與 KS的值，較為繁瑣，本論文中的方法可以將這些并入一個微分方程中去，在觀察變化的時候更為直觀、便捷。 關鍵字 ：美式看跌期權、有限差分方法、懲罰方法 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 2 Abstract Punishment function is used to transform the variational inequality model of American options { { ， ( ) } ( ) ( ， ) ( ) ， ( ) converted to ( ) [ ∏ ( ) ] then the discrete into ( ) ( ) 4 5( ) [ ∏ ( ) ] ( ) ( ) We don39。t do transform in this paper ,the grid will decrease ， when do the will be more significant, for values are relatively accurate， when S .In addition, the American put option in each lattice place need to calculating the value of V and K S, more plicated, in this paper, the methods which can be incorporated into a differential equation, when observing changes in a more intuitive and convenient. Key word： The American put option、 Finite difference method、 Punishment problem 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 3 目 錄 第一章 選題的意義 及模型 …………………………………………………… 4 第二章 美式期權定價的二叉樹方法 ………………………………………… 6 第三章 懲罰方法的顯 式 差分形式 ………………………………………… 7 變分丌等式相應的懲罰問題 ……………… ……………… 7 顯式差分方法 …………… ………………………… … …… 8 隱式差分方法 ……………………………………… … …… 9 懲罰問題的顯式差分方法 ……………………… … … … 11 第四章 顯 式 差分與隱式差分的 比較 ……………………………………… 12 第五章 結論 … …………………………………………………………………… 15 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 4 第一章 選題意義 及模型 期權是最重要的會融衍生工具之一，它作為一種 金 融 衍生 工具，在防范和規(guī)避風險以及投機中起著非常重要的作用。期權的定價模型取決于原生資產價格的演化模型。在連續(xù)時間情形，原生資產價格演化可以通過一個隨機微分方程來描述，從而在此基礎上，作為它的衍生物 —— 期權價格適合的是一個偏微分方程的定解問題。因此把偏微分方程作為工具，利用偏微分方程的理論和方法，建立各種期權定價的數學模型，導出期權的定價公式，對期權的價格結構做深入的定性分析，以及利用偏微分方程數值分析方法給出求期權價格的算法等，這是一個合乎情理的學習和研究期權定價理論的思路。 在現實世界中，交易所中交易的大多數期 權為美式期權。由于美式期權具有提前實施功能，因此持有人擁有比歐式期權更多的獲利機會，因此一般來說它比歐式期權更貴一些。持有人花了更多的期權金，能否獲得相應回報，這取決于持有人能否抓住有利時機，適當的實施合約，以獲得利益。這是每一個美式期權持有者都必須考慮的問題。從數學上來說，美式期權的定價問題是一個自由邊界問題，在這里所謂的自由邊界，它是這樣一條需要確定的交界線，它把區(qū)域 * +分成兩個部分，一部分是繼續(xù)持有區(qū)域，另一部分是終止持有區(qū)域，這條自由邊界在金融上稱為最佳實施邊界。由于它是一個非 線性問題，一般不可能得到解的明顯表達式。因此人們通常使用適當的近似方法，如研究其數值解、近似解析解、解的漸近表達式等來給美式期權進行定價。正因如此 ,美式期權的定價問題在理論和實踐上都有重要的意義。 按金融意義，美式期權定價可以分解為兩個部分，一部分是歐式期權定價，另一部分是由于合約增加提前實施條款而需要增付的期權金。 歐式期權定價是 BlackScholes 公式，增付的期權金顯然與最佳實施邊界的位置有關。 論文中的基本假設有： 1. 市場不存在套利機會，即 ［ 0， T），使 : 當 ( ) ，有 ( ) 或 * ( ) + 2. 證券交易不付交易費用（市場是無摩擦的）。 3. 無風險利率 r是常數。 論文中的記號 ： 時刻風險資產價格 K —— 期權的敲定價格 T —— 期權的到期日 ( ， ) 時刻，價格為 時的期權價格 q —— 紅利利率 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 5 —— 波動率 對于終止期為 t=T的美式看跌期權，存在兩個區(qū)域：一個是繼續(xù)持有區(qū)域 ，在這個區(qū)域內： ( ) ( ) ,一個是終止持有區(qū)域 ，在這個區(qū)域內： ( ) ( ) 。在這兩個區(qū)域中間有一條最佳實施邊界： ： ( )。在 中，利用 對沖原理 以及 ?公式，可以推出，當 ( ， ) 時，期權價格 ( ， )適合 BlackScholes 方程： ( ) 在Γ上： ( ( )， ) ( ) ( ( )， ) 當 時，有 ，在 t=T 上， ( ， ) ( ) 。這表明對于美式期權的定價，就是要在 中，尋求函數對 { ( )， ( )}，使它適合定解問題： { ( ) ( ( )， ) ( ) ( ( )， ) 由于： （ 1） 在 上， ( ) ( ) ， （ 2） 在 上， ( ) ( ) ， ( ) （ 3） 在 t=T時， ( ， ) ( ) （ 4） 當 時，有 因此美式看跌期權定價的變分不等方程模型是，求 ( ， ) ，使： { { ， ( ) } ( ) ( ， ) ( ) ， ( ) ( ) 本文研究的美式期權定價模型中，它的價格適合的是變分不等式方程式，對它不可以直接微商，為此我們引入懲罰函數 ? ?x?? ，建立與變分不等方程對應的懲罰問題，再將變分不等方程離散化進行數值分析。 在現在大多數的期權定價模型的差分中會對變分不等蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 6 式做如下變換： 8 。在本論文中將不做該變換，若做變換 ,則會 使做差分的時候，網格變大。當劃分了 后，實際在（ S， t）平面上的區(qū)域 * +中，對應的網格 使得，當 S 時，網格極大，對于取值會較為不準確。另外，美式看跌期權中每一個格點的地方都需要計算 V與 KS的值，較為繁瑣，本論文中的方法可以將這些并入一個微分方程中去，在觀察變化的時候更為直觀、便捷。 第二章 美式期權定價的二叉樹方法 記 ， ( ) ( ， ). ( ) 對于美式期權的定價（看跌），它的反向歸納過程為 : (1)當 時， ( ) ， ( ) (2)當 時， 2 [ ( ) ] ( ) 3， ( ) 一般來說，若 ( )被給定， 則 2 [ ( ) ] ( ) 3， ( ) 這里 也就是在每一步計算 , ( ) 以后，必須不當時的收益函數( ) 相比較，取其中最大者作為 ，以此類推，直到 . 為了演化一個宏觀認識，我們換一種觀點來表述，設 ， 即 在此假設下，原生產價格 ( ).可表述為 ( ).丌妨設 ， 在 ( )平面上形成一個網格 . 其中 ， ， . / 記 ( )， 從而 2 [ ( ) ] 3，其中 ( ) . 蘇州大學本科生畢業(yè)設計（論文） 7 第三 章 懲罰方法的顯 式 差分形式 變分不等式相應的懲罰問題 美式期權的價格 適合的是變分不等式方程式，對它不可以直接微商，為此我們引入懲罰函數 ? ?x?? ，建立與變分不等方程對應的懲罰問題， 這樣通過應用拋物型方程解的極值原理去證明這一論斷。 定義 ： 函數 ? ?x?? 被稱為是給定在（ ， ）上的懲罰函數，如果 ( ) ( ， ) ( ) ( ) ， ( ) （ ） （ ） ( ) 8 ， ， 定義 ： 利用懲罰函數，將 定解問題 { 2 ， ( ) 3 ( ) ( ， ) ( ) ， ( )…… （ 1） 轉換為： { ( ) , ∏ (