【正文】 ……………………………… 7 變分丌等式相應(yīng)的懲罰問題 ……………… ……………… 7 顯式差分方法 …………… ………………………… … …… 8 隱式差分方法 ……………………………………… … …… 9 懲罰問題的顯式差分方法 ……………………… … … … 11 第四章 顯 式 差分與隱式差分的 比較 ……………………………………… 12 第五章 結(jié)論 … …………………………………………………………………… 15 蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 第一章 選題意義 及模型 期權(quán)是最重要的會融衍生工具之一，它作為一種 金 融 衍生 工具，在防范和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)以及投機(jī)中起著非常重要的作用。這是每一個(gè)美式期權(quán)持有者都必須考慮的問題。另外，美式看跌期權(quán)中每一個(gè)格點(diǎn)的地方都需要計(jì)算 V與 KS的值，較為繁瑣，本論文中的方法可以將這些并入一個(gè)微分方程中去，在觀察變化的時(shí)候更為直觀、便捷。 當(dāng) 充分大 時(shí)，有 。 FDMvalue[M+1,]=0。 finish。 drop i j。. % 蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 % Output: oPrice the option price % % Notes: This code focuses on details of the implementation of the % implicit finite difference scheme. % It does not contain any programatic essentials such as error % checking. % It does not allow for optional/default input arguments. % It is not optimized for memory efficiency, speed or % use of sparse matrces. % Date : 123 % Get the number of grid points M = length(Svec)1。 % Specify the expiry time boundary condition price(:,end) = max(XSvec,0)。 end plot(sptprice,optprice,39。s Day on February 14, characterized by bouquets of roses, chocolates and romantic candlelight dinners, than they do about their homegrown day for lovers. Even Qixi is nowadays referred to as the Chinese Valentine39。 for(i = 1:300) sptprice(i,1) = i。 % Put in the minimum and maximum price boundary conditions % assuming that the largest value in the Svec is % chosen so that the following is true for all time price(1,:) = 0。 利用 Mathlab 編譯隱式差分格式 function oPrice = finDiffImplicit(X,S0,r,sig,Svec,tvec,oType) % Function to calculate the price of a vanilla European % Put or Call option using the implicit finite difference method % % oPrice = finDiffImplicit(X,r,sig,Svec,tvec,oType) % % Inputs: X strike % : S0 stock price % : r risk free interest rate % : sig volatility % : Svec Vector of stock prices (. grid points) % : tvec Vector of times (. grid points) % : oType must be 39。 TIME=j。 蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 priceindex=S0/dS。 Sindex=0:M。 第三步：驗(yàn)證所求出的 的值是否滿足 ( ) ， 若滿足則得到第二層 的值，否則取 ( ) ， 直到第二層 的每個(gè)格點(diǎn)的取值得到。這表明對于美式期權(quán)的定價(jià)，就是要在 中，尋求函數(shù)對 { ( )， ( )}，使它適合定解問題： { ( ) ( ( )， ) ( ) ( ( )， ) 由于： （ 1） 在 上， ( ) ( ) ， （ 2） 在 上， ( ) ( ) ， ( ) （ 3） 在 t=T時(shí)， ( ， ) ( ) （ 4） 當(dāng) 時(shí)，有 因此美式看跌期權(quán)定價(jià)的變分不等方程模型是，求 ( ， ) ，使： { { ， ( ) } ( ) ( ， ) ( ) ， ( ) ( ) 本文研究的美式期權(quán)定價(jià)模型中，它的價(jià)格適合的是變分不等式方程式，對它不可以直接微商，為此我們引入懲罰函數(shù) ? ?x?? ，建立與變分不等方程對應(yīng)的懲罰問題，再將變分不等方程離散化進(jìn)行數(shù)值分析。因此把偏微分方程作為工具，利用偏微分方程的理論和方法，建立各種期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出期權(quán)的定價(jià)公式，對期權(quán)的價(jià)格結(jié)構(gòu)做深入的定性分析，以及利用偏微分方程數(shù)值分析方法給出求期權(quán)價(jià)格的算法等，這是一個(gè)合乎情理的學(xué)習(xí)和研究期權(quán)定價(jià)理論的思路。 在現(xiàn)實(shí)世界中，交易所中交易的大多數(shù)期 權(quán)為美式期權(quán)。 在現(xiàn)在大多數(shù)的期權(quán)定價(jià)模型的差分中會對變分不等蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 式做如下變換： 8 。 第四步：重復(fù)上述二三步驟的方法依次算出 ， ...... 的全部取值。 Timeindex=0:N。 priceindex=round(priceindex)。 output。PUT39。 price(end,:) = (Svec(end)X)*exp(r*tvec(end:1:1))。 optprice(i,1) = finDiffImplicit(50,sptprice(i,1),0:1:300,0::1,39。s Day. More and more young Chinese people begin to celebrate this day in a very similar way as that in western countries. Fewer people than ever will gaze at the heavens on Saturday to pick out the two stars shining bright on either side of the Milky Way, that is, if people even know on which day Qixi falls. There are ready reminders dotted about, in the form of big ads saying Sales on Chinese Valentine39。)。PUT39。CALL39。 end。 return(PRICE)。 FDMvalue[1,]=KEXP(rdt(NTimeindex))。 在考慮到美式期權(quán)的實(shí)際情況，當(dāng) 時(shí)，有 。當(dāng)劃分了 后，實(shí)際在（ S， t）平面上的區(qū)域 * +中，對應(yīng)的網(wǎng)格 使得，當(dāng) S 時(shí)，網(wǎng)格極大，對于取值會較為不準(zhǔn)確。持有人花了更多的期權(quán)金，能否獲得相應(yīng)回報(bào)，這取決于持有人能否抓住有利時(shí)機(jī)，適當(dāng)?shù)膶?shí)施合約，以獲得利益。期權(quán)的定價(jià)模型取決于原生資產(chǎn)價(jià)格的演化模型。在這兩個(gè)區(qū)域中間有一條最佳實(shí)施邊界： ： ( )。 因此得到了計(jì)算每個(gè)格點(diǎn)處 的方法 ： 第一步：在帶狀區(qū)域 ( )上 ，上左右三個(gè)邊界的取值已經(jīng)給出， 最上面一層的格點(diǎn)的取值是已知的 ，即 ( ) ， 可以將第一層每個(gè)格點(diǎn)對應(yīng)的V值算出。 FDMvalue=j(M+1,N+1,0)。 APPEND 。N)。 %mend。CALL39。 畫圖的程序 如下 ： sptprice = zeros(100,1)。s misery, the cow told him to turn its hide into a pair of shoes after it died. The magic shoes whisked Niulang, who carried his two children in baskets strung from a shoulder pole, off on a chase after the empress. The pursuit enraged the empress, who took her hairpin and slashed it across the sky creating the Milky Way which separated husband from wife. But all was not lost as magpies, moved by their love and devotion, formed a bridge across the Milky Way to reunite the family. Even the Jade Emperor was touched, and allowed Niulang and Zhinu to meet once a year on the seventh night of the seventh month. This is how Qixi came to be. The festival can be traced back to the Han Dynasty (206 BCAD 220). Traditionally, people would look up at the sky and find a bright star in the constellation Aquila as well as the sta r Vega, which are identified as Niulang and Zhinu. The two stars shine on opposite sides of the Milky Way. Customs In bygone days, Qixi was not only a special day for lovers, but also for girls. It is also known as the Begging for Skills Festival or Daughters39。) grid on 第 五 章 結(jié)論 為檢測上述方法是否可行，在這里進(jìn)行一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)： 考慮一個(gè)不支付紅利的美式看跌期權(quán)，有效期為 3個(gè)月，股票的現(xiàn)價(jià)為 60 元，敲定價(jià)格為 60 元，無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 為 ，年波動率