【正文】 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 教材第 7章習(xí)題與上機(jī)題解答 1． 已知 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為： （ 1） h(n)長(zhǎng)度 N=6 h(0)=h(5)= h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 （ 2） h(n)長(zhǎng)度 N=7 h(0)=－ h(6)=3 h(1)=－ h(5)=－ 2 h(2)=－ h(4)=1 h(3)=0 試分別說(shuō)明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點(diǎn)。 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 解 ： （ 1） 由所給 h(n)的取值可知， h(n)滿足 h(n)=h(N－ 1－ n)， 所以 FIR濾波器具有 A類(lèi)線性相位特性： ???? 1)( ????? N由于 N=6為偶數(shù) (情況 2)， 所以幅度特性關(guān)于 ω=π點(diǎn)奇對(duì)稱。 （ 2） 由題中 h(n)值可知， h(n)滿足 h(n)=－ h(N－ 1－ n)， 所以 FIR濾波器具有 B類(lèi)線性相位特性： ???? 32π2 12π)( ??????? N由于 7為奇數(shù) (情況 3)， 所以幅度特性關(guān)于 ω=0, π, 2π三點(diǎn)奇對(duì)稱。 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 2． 已知第一類(lèi)線性相位 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為 16， 其 16個(gè)頻域幅度采樣值中的前 9個(gè)為： Hg(0)=12， Hg(1)=， Hg(2)=， Hg(3)~Hg(8)=0 根據(jù)第一類(lèi)線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω)的特點(diǎn)， 求其余 7個(gè)頻域幅度采樣值。 解 ： 因?yàn)?N=16是偶數(shù)（情況 2）， 所以 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω)關(guān)于 ω=π點(diǎn)奇對(duì)稱， 即 Hg(2π－ ω)=－ Hg(ω)。 其 N點(diǎn)采樣關(guān)于 k=N/2點(diǎn)奇對(duì)稱， 即 Hg(N－ k)=－ Hg(k) k=1, 2, …, 15 綜上所述 , 可知其余 7個(gè)頻域幅度采樣值： Hg(15)=－ Hg(1)=－ ， Hg(14)=－ Hg(2)=－ ， Hg(13)~Hg(9)=0 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 3． 設(shè) FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )(101)( 4321 ???? ????? zzzzzH求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)， 判斷是否具有線性相位， 解 : 對(duì) FIR數(shù)字濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)為 ? ??????? ??????104321 )(101)()( Nnn zzzzZnhzH有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ? ?1( ) 1 , 0 , 9 , 2 . 1 , 0 . 9 , 110hn ?由 h(n)的取值可知 h(n)滿足： h(n)=h(N－ 1－ n) N=5 所以， 該 FIR濾波器具有第一類(lèi)線性相位特性。 頻率響應(yīng)函數(shù) H(ejω)為 所以其單位脈沖響應(yīng)為 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ??????10j)(jgj e)(e)()e(NnmnhHH ???? ?][10 1 4j3j2jj ???? ???? ?????????? 2j2jjj2j e)(101 ??? ???????? 2je)2c o s2c o (101 ????有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 幅度特性函數(shù)為 102c o s2c o )(g??? ???H相位特性函數(shù)為 ???? 22 1)( ????? N 4． 用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通 FIR濾波器， 要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò) π/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω)為 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ??????????????? ||0 || 0e)e(cjjdcaH≤ ≤ ≤ （ 1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng) hd(n) （ 2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的低通 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)表達(dá)式， 確定 α與 N之間的關(guān)系； （ 3） 簡(jiǎn)述 N 解 : （ 1） ccπ j j j jdd πc11( ) ( e ) e d e e d2 π 2 πsin[ ( ) ] π ()nnh n Hnn?? ? ?? ??????????????????有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 2） 為了滿足線性相位條件， 要求 ， N為矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度。 因?yàn)橐筮^(guò)渡帶寬度 Δβ≤ rad, 所以要求 , 求解得到 N≥32。 加矩形窗函數(shù) , 得到 h(n)： 21?? Na8πN4π8π≤ )()( )](s i n [)()()( cd nRan annRnhnh NN ? ???? ? ?????? ??????nNaNnanan其它021,1 0)(π)](s i n [ c?≤ ≤ 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 3） N取奇數(shù)時(shí)， 幅度特性函數(shù) Hg(ω)關(guān)于 ω=0, π, 2π三點(diǎn)偶對(duì)稱， 可實(shí)現(xiàn)各類(lèi)幅頻特性； N取偶數(shù)時(shí)， Hg(ω)關(guān)于 ω=π奇對(duì)稱， 即 Hg(π)=0， 所以不能實(shí)現(xiàn)高通、 帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。 5． 用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器， 要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò) π/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω)為 ???????其它0 || e)e( jjd????? caH≤ ≤ 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 1） 求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng) hd(n)； （ 2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的高通 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)表達(dá)式， 確定 α與 N的關(guān)系； （ 3） N 解 : （ 1） 直接用 IFT［ Hd(ejω)］計(jì)算： π jjdd π1( ) ( e ) e d2 πnh n H ?? ??? ?ccπj j j jπ1 e e d e e d2nn? ? ? ? ? ? ????? ???????????有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ccπj ( ) ( )π1 e d e d2 πn j n? ? ? ? ????? ???????????ccj ( ) j ( )j π ( ) j π ()1 [ e e e e ]2 π ()nn nnna? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ??)]}(s i n [)](π{s i n [)(π 1 c ?? ????? nanan)(π)](s i n [)(δ cananan????? ?有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 hd(n)表達(dá)式中第 2項(xiàng) 正好是截止頻率為 ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 而 δ(n－ α)對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性相位全通濾波器： Hdap(ejω)=e－ jωα 即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。 （ 2） 用 N表示 h(n)的長(zhǎng)度， 則 h(n)=hd(n)RN(n)= )()(π)](s i n [)(δ c nRnnnN????????????????????????)(π)](s i n [ canan?有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N－ 1－ n) 要求滿足 12N? ?? （ 3） N必須取奇數(shù)。 因?yàn)?N為偶數(shù)時(shí)（情況 2）， H(ejπ)=0， 不能實(shí)現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對(duì)過(guò)渡帶寬度的要求， N應(yīng)滿足： , 即 N≥40。 取 N=41。 N4π10π≤ 6． 理想帶通特性為 ????????? ?????????? || ||0 || e)e(cccjjd BBH a≤ ≤ ≤ ≤ 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 1） 求出該理想帶通的單位脈沖響應(yīng) hd(n)； （ 2） 寫(xiě)出用升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器的 h(n)表達(dá)式， 確定N與 α之間的關(guān)系； （ 3） 要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò) π/16 rad。 N的取值是否有限 解 : （ 1） π jjdd π1( ) ( ) e d2 πnh n H e ?? ??? ?cc j j j j()1 e e d e e d2 πBa m a nB?? ? ? ? ?????????????????)(π)](s i n [)(π)])(s i n [( ccananananB??????? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為截止頻率 ωc+B和 ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 所以， 上面 hd(n)的表達(dá)式說(shuō)明， 帶通濾波器可由兩個(gè)低通濾波器相減實(shí)現(xiàn)。 （ 2） h(n)=hd(n)w(n) ccsi n[ ( ) ( ) ] si n[ ( ) ] 2 c os ( )π () π ( ) 1 NB n a n a n Rnn a n a N????? ? ? ?? ??? ? ??? ????? ? ???????為了滿足線性相位條件， α與 N應(yīng)滿足 12N? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 實(shí)質(zhì)上， 即使不要求具有線性相位， α與 N也應(yīng)滿足該關(guān)系， 只有這樣， 才能截取 hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近誤差最小。 （ 3） N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)， 均可實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。 但升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器過(guò)渡帶為 8π/N ， 所以， 要求 ， 即要求 N≥128。 7． 試完成下面兩題： （ 1） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為 h(n)和 H(ejω)， 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 h1(n)， 它與 h(n)的關(guān)系是 h1(n)=(－ 1)nh(n)。 試證明濾波器 h1(n)是一個(gè)高通濾波器。 N8π16π≤ 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 2） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為 h(n)和 H(ejω)， 截止頻率為 ωc, 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 h2(n)， 它與 h(n)的關(guān)系是 h2(n)=2h(n)cosω0n， 且ωcω0(π－ ωc)。 試證明濾波器 h2(n)是一個(gè)帶通濾波器。 解 : （ 1） 由題意可知 )(]ee[21)()πc o s ()()1()( jj π1 nhnhnnhnh nnn ???????對(duì) h1(n)進(jìn)行傅里葉變換 , 得到 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 mnnnnm nhhH ????? jjjj1j1 e]ee)(21e[)e( ??????????? ?? ???]e)(e)([21 )π(j)π(j ?????????????? ??nnnn nhnh ??)]e()e([21 )π(j)π(j nHH