【正文】 第 1 頁 共 42 頁 10秋會(huì)計(jì)、工商管理?？啤督?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 集中面授教學(xué)進(jìn)度 計(jì)劃 函數(shù) 與 極限 10 月 23日 導(dǎo)數(shù) 與微分 10 月 31日 積分 與定積分 11 月 7日 導(dǎo)數(shù)微分與積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用 11 月 27日 矩陣 12 月 5 日 線性方程組 12 月 25 日 《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 學(xué)習(xí)策略 一、利用 “ 矩陣的行初等變換 ” 可以把任意矩陣變換成 “ 階梯形矩陣 ”“ 行簡(jiǎn)化階梯形矩陣 ” ，這個(gè)運(yùn)算方法很簡(jiǎn)單的，只要數(shù)字方面的計(jì)算細(xì)心，期末考試中至少可得三十分。 二、導(dǎo)數(shù)計(jì)算題（顯函數(shù)或隱函數(shù)求導(dǎo)）其實(shí)沒有難度，關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)公式、法則；尤其是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法要掌握，期末考試至少可以得十分。 三 、經(jīng)濟(jì)分析函數(shù)應(yīng)用題，該題期末考試占卷面二十分，而實(shí)際上只有三種題型，也就是大家作業(yè)冊(cè)上的幾道應(yīng)用題，如果能把解題方法記牢了，拿下這二十分也相當(dāng)容易，因這其解題方法非常的死板。 （需要說明的是：平時(shí)作業(yè)分如果８ ０分，期末考試卷面達(dá)５５分，則《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程及格）。 第 2 頁 共 42 頁 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分部分講義 第一章 函數(shù) 第一節(jié) 函數(shù)基本知識(shí) 函數(shù)的概念 函數(shù)的 定義域 、值域， 運(yùn)算法則 ， 函數(shù)相等 例 (0907)求函數(shù)xxy ???? 41)2ln(的定義域 例 (1001)設(shè)函數(shù)xxf 1)( ?，求 )1()1()),(( ??? xfxfxff 例 (0901)若函數(shù) 74)2( 2 ???? xxxf ，則 ?)(xf 例 （ 0807） 例 （ 0707） 下列各函數(shù)對(duì)中，（ ）中的兩個(gè)函數(shù)相等 A． xxgxxf ????? )()()(),2[ 2 B． 1)(11)( 2 ????? xxgxxxf C． xxgxy ln2)(ln 2 ?? D． 1)(c o ss in)( 22 ??? xgxxxf 函數(shù)的基本屬性： 1) 單調(diào)性 例 （ 0807） 2) 奇偶性 例 （ 0801）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ） A、 xxy sin? B、 xxy ?? 2 C、 xxy ??? 22 D、 xxy cos? 例 （ 0807）函數(shù) )22(21 xxy ??? 的圖像關(guān)于 對(duì)稱。 3) 有界性 4) 周期性 第 3 頁 共 42 頁 第二節(jié) 初等函數(shù)的圖像及其基本性質(zhì) 1. 常數(shù)函數(shù)： 為常數(shù)ccy ,? 2. 冪函數(shù)： R, ?? ??xy 3. 指數(shù)函數(shù)： 10, ??? aaay x 且 4. 對(duì)數(shù)函數(shù)： 10,lo g ??? aay xa 且 5. 多項(xiàng)式函數(shù)： *0111 , Nnaxaxaxay nnnn ?????? ?? ?? 6. 三角函數(shù)： xyxyxy t a n,c o s,s in ??? 第三節(jié) 函數(shù)的初等運(yùn)算 四則運(yùn)算 例 將下列函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算： ⑴ xxy 23 ?? ⑵ xxy lnsin ?? 復(fù)合運(yùn)算 例 將下列函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四 則運(yùn)算： ⑴ 5lnsin xy? ⑵xxy tancos12?? 第四節(jié) 經(jīng)濟(jì)分析中的常見函數(shù) 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1. 需求函數(shù)： ☆線性需求函數(shù)： )0,0(, ???? babapq d ☆圖像與基本性質(zhì)： 單調(diào)減函數(shù) 需求量隨價(jià)格上漲而減少 2. 供給函數(shù) ☆ 線性供給函數(shù)： )0,0(,11 ???? babpaq s ☆圖像與基本性質(zhì)： 單調(diào)增函數(shù) 供給量隨價(jià)格上漲而增加 q O p q O p 第 4 頁 共 42 頁 3. 成本函數(shù)與平均成本 ☆成本函數(shù)： )(10 qCCC ?? 0C ：固定成本， )(1qC ：隨產(chǎn)量變化的變動(dòng)成本 ☆常見成本函數(shù)：①線性 : aqcC ?? 0 ②二次 : 20 bqaqcC ??? 4. 收入函數(shù)與平均收入 ☆ 收入函數(shù)： )(qqpR? ☆ 平均收入函數(shù)：qqRR )(? 5. 利潤(rùn)函數(shù)與平均利潤(rùn) ☆ 利潤(rùn)函數(shù)： CRL ?? ☆ 平 均利潤(rùn)函數(shù)：qqLL )(? 6. 市場(chǎng)均衡價(jià)格、均衡數(shù)量與市場(chǎng)均衡點(diǎn)的概念 若存在 0p 使得 sd qq ? ，則稱 0p 為該商品的 市場(chǎng)均衡價(jià)格，此時(shí)的供給量或需求量稱為市場(chǎng)均衡數(shù)量 7. 盈虧平衡的條件與盈虧平衡點(diǎn) 若存在 0q 使得 0)( 0 ?qL ，即 )()( 00 qCqR ? 則稱 0q 為該商品的 盈虧平衡點(diǎn)（又稱為保本點(diǎn)）。 二、知識(shí)運(yùn)用與鞏固： 例 市場(chǎng)中某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為： pqd ??204 ， 962 ?? pqs，試求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量。 例 某商品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為： 2718 qqC ??? ， qR 4? ，試求：⑴該商品的盈虧平衡點(diǎn)； ⑵該商品銷量為 5和 10 時(shí)的盈利情況； ⑶說明該商品的盈虧 情況。 第 5 頁 共 42 頁 第二章 極限 第一節(jié) 數(shù)列與函數(shù)的極限定義 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1. 數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式 2. 數(shù)列的收斂、發(fā)散與數(shù)列的極限 定義： 給定一個(gè)數(shù)列 }{nx ，若 Axnn ???lim， A 為固定常數(shù)，則稱數(shù)列 }{nx 收斂，否則稱其發(fā)散。 函數(shù)的極限 ⑴ ??x 時(shí)的情形 定義 1： 對(duì)函數(shù) )(xfy? ，若 Axfx ??? )(lim， A為固定常數(shù)，則稱函數(shù) )(xfy? 以 A 為極限。記作 ： Axfx ??? )(lim 注意： ??x 的意義有三種可能????????????????????????xxxxxxxxx1lim32lim221lim1，例如：求、例如：求、例如：求、 ⑵ 0xx? 時(shí)的情形 定義 2： 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 的鄰域內(nèi)（點(diǎn) 0x 可要除外）有定 義，若 0xx? （但0xx? ）時(shí)，函數(shù) Axf ?)( （固定常數(shù)），則稱當(dāng) 0xx? 時(shí)，函數(shù) Axf 以)( 為極限。 記作 ： Axfxx ?? )(lim0 無窮小量和無窮大量 二、知識(shí)運(yùn)用與鞏固 例 下列數(shù)列 }{nx 是否收斂？ 若收斂，求其極限： 1) nxn 1? 2) nnx )1(?? 3) nnxn 1?? 第 6 頁 共 42 頁 第二節(jié) 極限的運(yùn)算 一、基礎(chǔ)知識(shí) ： 1. 四則運(yùn)算法則 ： 在某個(gè)變化過程中，如果變量 u 與變量 v 分別以 A， B 為極限，則有： BAvu ??? )lim( ， ABuv ?)lim( ， BAvu?lim 2. 乘冪與開 方 運(yùn)算 ： kAukku ?? lim)lim ( ， nn Au ?lim ， nnn Auu ?? limlim 例 求極限： 1) )2(lim 21 xxx ?? 2) 11lim 22 ??? xxx 3) xxx sin)1(lim0 ?? 4) )sinco s(lim 30 xxx ?? 3. 分式函數(shù)的極限 . 1) ??x 時(shí)的情形 例 求極限： 1) 21lim ????? xxx 2) 74 3lim22 ?? ????? xxxxx 3) 423 12lim22 ?? ????? xxxxx 4) 42 1lim32 ?? ????? xxxxx 小 結(jié) ： ??????????????????????????nmnmnmbabxbxbaxaxamnmmmmnnnnx,0,lim011011?? 2) 0xx? 時(shí)的情形 例 求極限： 第 7 頁 共 42 頁 1) 12 1lim1 ??? xxx 2) 12 2lim 222 ?? ??? xx xxx 3) 11lim 21 ??? xxx（ 因式分解 ） 4) 9 65lim 223 ? ??? x xxx（ 因 式分解 ） 5) xxx11lim0???（ 分 子 有理化 ） 6) 223lim2 ??? x xx（ 分母有理化 ） 7) 11lim1 ??? xxx（ 先求倒數(shù)的極限后再求原函數(shù)的極限 ） 小 結(jié) ： ? 在 0x 處有定義 ，直接代入 0x 因式分解 ? 化簡(jiǎn)后在 0x 處有定義，直接代入 0x 。 化簡(jiǎn) ? 在 0x 處無定義 分子或分母有理化 ? 不能化簡(jiǎn)，先求倒數(shù)的極限后再求原函數(shù)的極限 第三節(jié) 兩個(gè)重要極限 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1. 1sinlim0 ?? xxx ? kxkxx ?? sinlim0 注 意 ： 重要極限0lim?x sin 1xx ?具有以下兩個(gè)特征： （ 1）類型為“ 00 ”型未定式； （ 2）分子中 sin 后面的函數(shù)與分母相同． 第 8 頁 共 42 頁 2. ex xx ???? )11(lim ? ex xx ???10 )1(lim， kxx exk ???? )1(lim， kkxx ex ???? )11(lim 注 意 ： 重要極限??xlim ex x ?? )11(具有以下兩個(gè)特征： （ 1）類型為“ 1? ”型未定式； （ 2）底數(shù)是兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)為 1，第二項(xiàng)與指數(shù)互為倒數(shù)； （ 3）令 1x ??，則當(dāng) x?? 時(shí)， 0?? ．于是此極限又可寫成 0lim?? e?? ??1)1( ． 二、知識(shí)運(yùn)用與鞏固： 例 求極限： 1) xxx 35sinlim0? 解 ： 令 5x = u，當(dāng) x → 0 時(shí) u → 0，因此有uuxxuuxxuxux53s inlim3 5s inlim53s inlim3 5s inlim 0000 ???? ??? 也可以按如下格式進(jìn)行 ：3513555s inlim355535s inlim35s inlim0500 ?????? ??? xxxxxxxxx 2) xxx 4sin3sinlim0? 解： 003 0 4 0si n 3 si n 3 4 3l i m l i m ( )si n 4 3 si n 4 43 si n 3 4 3l i m l i m .4 3 si n 4 4xxxxx x x xx x x xxxxx????? ? ?? ? ? 3) 0lim?x tanxx． 解： 111c o s1lims inlim)1c o ss in(limt a nlim0000 ??????? ???? xx xxxxx x xxxx 4) 0lim?x 21 cosxx? 解 ： 2112122s i nlim2122s i n21lim2s i n2limc o s1