第八講大數(shù)定律與中心極限定理(已修改)
2025-09-12 08:33 本頁面
【正文】 第八講 大數(shù)定律與中心極限定理 【 主要內(nèi)容 】 介紹大數(shù)定律與中心極限定理。 【 主要目的 】 本實(shí)驗(yàn)將借助 MATHEMATICA軟件， 了解隨機(jī)模擬的一些簡單算法及其應(yīng)用。 隨機(jī)變量 在通訊、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等一些工程應(yīng)用問題中，通常需要進(jìn)行大量的仿真模擬，目前采用最多的隨機(jī)模擬方法是 Monte Carlo方法，初等概率統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律就是該方法的數(shù)學(xué)原理之一。 在概率中，一般采用隨機(jī)變量 X來描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量 X 從本質(zhì)上來說是一函數(shù)，但隨機(jī)變量 X 這個(gè)函數(shù)和我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中學(xué)過的函數(shù)稍有所不同。 隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別 定義域不同 ： 高等數(shù)學(xué)中的函數(shù) f (x)， 其定義域和值域都是實(shí)數(shù) R； 隨機(jī)變量 X 的定義域是一非常抽象的集合 ―― 樣本空間 研究方法不同 ： 實(shí)數(shù)域 R具有非常好的性質(zhì)，如它是個(gè)全序集，具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和線性結(jié)構(gòu)等等，所以對(duì)其上的函數(shù) f (x)， 我們可研究其是否連續(xù)和可導(dǎo)等函數(shù)本身的性質(zhì) 而樣本空間通常僅僅是一個(gè)非空集合而已，沒有任何其他可用的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這樣就無法采用普通函數(shù) f (x)的一些研究方法來研究隨機(jī)變量 X，而是通過研究隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) F (x)或其數(shù)字特征來研究其 統(tǒng)計(jì)規(guī)律 。 分布函數(shù)的獲取 但在實(shí)際應(yīng)用中，通常很難得到隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) F (x)和其數(shù)字特征，能收集到的只是關(guān)于該隨機(jī)變量的一些實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù) (稱為 樣本 )。 那么如何通過這些 樣本 來得到該隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) F (x)或其 數(shù)字特征 ，這就成了我們需要解決的關(guān)鍵問題之一。而 大數(shù)定律 和 中心極限定理 就為解決上問題提供了一種數(shù)學(xué)途徑 。 概率論中的極限概念 (I) 幾乎處處收斂 設(shè) 是一列隨機(jī)變量， 是一隨機(jī)變量，若有： X{}nX{ l i m }nnP X X?? ＝ ＝ 1 則稱隨機(jī)變量序列 幾乎處處收斂到 X。 {}nX 記為 . .nX X a e?概率論中的極限概念 (II) 依概率收斂 l im { }nn P X X ??? ＝ 0 則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂到 X。 {}nX 設(shè) 是一列隨機(jī)變量， 是一隨機(jī)變量，若對(duì)任 意的 ，有： X{}nX0? ? 記為 PnXX?概率論中的極限概念 (III) 依分布收斂 l i m ( ) ( )nn F x F x?? ? 則稱隨機(jī)變量序列 依分布收斂到 X。 {}nX 記為 FnXX? 設(shè) 是一列隨機(jī)變量， 是一隨機(jī)變量，設(shè)隨機(jī) 變量 與 的分布函數(shù)分別為 X{}nXXnX( ) { } ( ) { }nnF x P X x F x P X x? ? ? ? 若對(duì)分布函數(shù) 的任意一個(gè)連續(xù)點(diǎn) x ，有 ( ) { }F x P X x??大 數(shù) 定 律 大數(shù)定律主要描述了大數(shù)量隨機(jī)實(shí)驗(yàn) 平均結(jié)果 的穩(wěn)定性，揭示了隨
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