【正文】 1 DVD 在 線 租 賃 模 型 摘要 ： 本文在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立了購買 DVD 的量的數(shù)列模型和排隊(duì)模型，利用優(yōu)選法和計(jì)算機(jī)模擬的方法，解決了購買多少 DVD 才能達(dá)到服務(wù)要求，以及如何做到服務(wù)的及時(shí)性、公正性、廣度和滿足會(huì)員偏愛程度等以提高會(huì)員的滿意度問題，用計(jì)算機(jī)模擬和優(yōu)選法用大量的圖表列出了問題要求的結(jié)果，較好地求解了各個(gè)問題。 首先建立數(shù)列模型（一）確保一定時(shí)期內(nèi)滿足一定數(shù)量的會(huì)員租賃至少需要 DVD的張數(shù)，其次建立排隊(duì)與概率模型（二）解決一定數(shù)量的 DVD 分配致使會(huì)員獲得最大的滿意 度，最后建立模型（三）綜合解決購買數(shù)量以及進(jìn)行分配獲得最大滿意度。 關(guān)鍵詞： 計(jì)算機(jī)擬合 租賃 滿意度 數(shù)列模型 排隊(duì)模型 2 一、問題的重述 在線 DVD 租賃問題：根據(jù)庫存量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)，會(huì)員每人每月租賃次數(shù)不超過 2 次，每次獲得 3 張。觀看完 ,免費(fèi)寄回，繼續(xù)租賃。試建立數(shù)學(xué)模型解決： 1）根據(jù)調(diào)查與歷史的數(shù)據(jù)總結(jié)，怎樣購買 DVD 才能保證 10 萬個(gè)會(huì)員至少 50%的人能在一個(gè)月內(nèi)看到該 DVD？如果要保證在三個(gè)月內(nèi)至少 95%的會(huì)員租賃到 DVD。 2） 根據(jù) 20 種 DVD 的庫存量和會(huì)員 100 份在線訂單，怎么分配使會(huì)員滿意度最大？并列出前 30 位獲取情況。 3） 根據(jù)表 2 的會(huì)員訂單，作為網(wǎng)站管理者，如何決定每種 DVD 的購買量，以及如何進(jìn)行分配才能使一個(gè)月內(nèi) 95%的會(huì)員獲得最佳滿意？ 二、模型假設(shè) １） 60％每月租賃 DVD 兩次的會(huì)員和 40％每月租賃一次的會(huì)員是服從均勻分布的。 ２）每月租賃兩次的會(huì)員第一次租賃后能在較短時(shí)間內(nèi)歸還 DVD，每月租賃一次的會(huì)員應(yīng)到期滿才還 DVD ３）老會(huì)員的退出與新會(huì)員加入的總數(shù)保持不變 ４）一個(gè)會(huì)員不重復(fù)借同一種 DVD ５） DVD 在借出的時(shí)候應(yīng)不考慮丟失等人為因素造成的損失 三、符號(hào)說明 im —— 第 i 種 DVD 的張數(shù) P —— 每月租賃兩次 DVD 的人數(shù)百分比 q —— 每月租賃一次 DVD 的人數(shù)百分比 C —— 每月要求租賃 DVD 的總?cè)藬?shù) N —— 每月實(shí)際租賃到 DVD 的人數(shù) Q —— 實(shí)際租賃到 DVD 的會(huì)員占總?cè)藬?shù)的百分比 3 四、模型建立與求解 模型一： 根據(jù)問題的分析： im 個(gè)第 ? 種 DVD 在一個(gè)月內(nèi)， 首次借出可使 im 個(gè)會(huì)員觀看，根據(jù)假設(shè)，這其中有 ipm 個(gè)會(huì)員在盡可能的時(shí)間內(nèi)歸還 DVD，從而又有 ipm 個(gè)會(huì)員租賃到 DVD，使租賃到 DVD 的人數(shù)增加到 uum pm? ，以此類推第 n 次租賃（一個(gè)月內(nèi)）出去后，租賃到第 i 種 DVD 的會(huì)員總數(shù)為： 借 2 次可使 ? ?m pm? 個(gè)會(huì)員觀看； 借 n 次可使 ()nm pm p m? ? ?個(gè)會(huì)員觀看； 借助于上述問題分析和假設(shè)我們可以得到相應(yīng)方程為： N= 21nni i i i im p m p m p m p m?? ? ? ? （ 1） ? 2(1 )niN m p p p? ? ? ? ? （ 2） 當(dāng)租賃過程頻繁產(chǎn)生即 n ? ? 時(shí)得到以下模型： 11iNm p? ? （ 3） 或 11uCQ m p??? 問題一的求解 保證在一 個(gè)月內(nèi)至少 50%的會(huì)員能租賃到 DVD 的張數(shù)根據(jù)調(diào)查結(jié)果（表 1） DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意觀看的人數(shù) 200 100 50 25 10 表 1 對(duì) 1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果 由此可算出 10 萬個(gè)會(huì)員中愿意觀看這些 DVD 的人數(shù)，如表 3 所示： DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意觀看的人數(shù) 20200 10000 5000 2500 1000 4 表 3 推算的 10萬個(gè)會(huì)員觀看結(jié)果 根據(jù)上述模型（ 3） 11iNm p? ?和表 3 數(shù)據(jù)，每種 DVD 要有 50%會(huì)員租賃到，必有： 11 2 0 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 4） 2 1 1 0 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 5） 31 5 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 6） 41 2 5 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 7） 51 1 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 8） 其中 1m 、 2m 、 3m 、 4m 、 5m 分別是五種 DVD 的張數(shù)，通過解（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）、（ 8）得： 1 4000m? 2 2020m ? 3 1000m ? 4 250m? 5 200m? 則要保證 50%會(huì)員在一個(gè)月內(nèi)看到 DVD，每種 DVD 需準(zhǔn)備的張數(shù)依次如下表 (表 4)所示： DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 準(zhǔn)備張數(shù) 4000 2020 1000 500 200 表 4 一個(gè)月內(nèi)要準(zhǔn)備的 DVD張數(shù) 保證在三個(gè)月內(nèi)至少 95%的會(huì)員能看到，則所需 DVD 的張數(shù) 假設(shè) 每月租賃兩次的會(huì)員應(yīng)盡快歸還 DVD，每月租賃一次的會(huì)員到月末才歸還DVD，則到月未所有租賃的 DVD 都已歸還，則有三個(gè)月有 95%以上的人能租賃到 DVD的模型為： 13 1im CQp ?? （ 9） 5 求解得： 1 13 2 0 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 10） 2 13 1 0 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 11） 3 13 5 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 12） 4 13 2 5 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 13） 5 13 1 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? （ 14） 其中 1m 、 2m 、 3m 、 4m 、 5m 分別是五種 DVD 的張數(shù)，通過解（ 10）、（ 11）、（ 12）、（ 13）、（ 14）得： 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 則要保證 95%會(huì)員在三個(gè)月內(nèi)看到 DVD，每種 DVD 需準(zhǔn)備的張數(shù)依次如下表（表 5）所示： DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 準(zhǔn)備張數(shù) 2534 1267 634 317 127 表 5 三個(gè)月內(nèi)要準(zhǔn)備的 DVD的張數(shù) 問題二的求解 使會(huì)員獲得最大的滿意度， DVD 分配的模型及求解： 要使會(huì)員有較高的滿意度，首先必須做到：①滿足偏愛 DVD 的程度，即表示會(huì)員偏愛程度懂得三張 DVD 的數(shù)值和（以下都稱和值）盡可能小；②服務(wù)要有公正性，即每個(gè)會(huì)員的和盡可能接近，由此建立模型二： 模型二（見圖（一））： 6 具體程序及運(yùn)行結(jié)果見附錄。 雖然此模型注意到了會(huì)員的偏愛程度和服務(wù)臺(tái)公正性，但通過計(jì)算機(jī)模擬發(fā)現(xiàn)此模型不能使盡可能多的會(huì)員及時(shí)租賃 DVD，需要長時(shí)間的等待，即該模型沒有考慮到服務(wù)的及時(shí)性和廣度。因此建立模型三（見圖二） 步驟如下圖所示： 開始 根據(jù)最大偏愛度進(jìn)行第一次分配 根據(jù)滿意度最低原則與和值最小原則進(jìn)行第二次分 配 根據(jù)滿意度最大原則與和值最小原則進(jìn)行第三次分配 判斷有無存在等待分配的會(huì)員 根據(jù)優(yōu)化原則，將已分配到等待會(huì)員的 DVD 根據(jù)和值最小原則進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。 結(jié)果 有 無 7