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dvd在線租賃模型(已修改)

2025-09-01 08:08 本頁面
 

【正文】 1 DVD 在 線 租 賃 模 型 摘要 : 本文在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,建立了購買 DVD 的量的數(shù)列模型和排隊模型,利用優(yōu)選法和計算機模擬的方法,解決了購買多少 DVD 才能達到服務要求,以及如何做到服務的及時性、公正性、廣度和滿足會員偏愛程度等以提高會員的滿意度問題,用計算機模擬和優(yōu)選法用大量的圖表列出了問題要求的結(jié)果,較好地求解了各個問題。 首先建立數(shù)列模型(一)確保一定時期內(nèi)滿足一定數(shù)量的會員租賃至少需要 DVD的張數(shù),其次建立排隊與概率模型(二)解決一定數(shù)量的 DVD 分配致使會員獲得最大的滿意 度,最后建立模型(三)綜合解決購買數(shù)量以及進行分配獲得最大滿意度。 關(guān)鍵詞: 計算機擬合 租賃 滿意度 數(shù)列模型 排隊模型 2 一、問題的重述 在線 DVD 租賃問題:根據(jù)庫存量和會員的訂單進行分發(fā),會員每人每月租賃次數(shù)不超過 2 次,每次獲得 3 張。觀看完 ,免費寄回,繼續(xù)租賃。試建立數(shù)學模型解決: 1)根據(jù)調(diào)查與歷史的數(shù)據(jù)總結(jié),怎樣購買 DVD 才能保證 10 萬個會員至少 50%的人能在一個月內(nèi)看到該 DVD?如果要保證在三個月內(nèi)至少 95%的會員租賃到 DVD。 2) 根據(jù) 20 種 DVD 的庫存量和會員 100 份在線訂單,怎么分配使會員滿意度最大?并列出前 30 位獲取情況。 3) 根據(jù)表 2 的會員訂單,作為網(wǎng)站管理者,如何決定每種 DVD 的購買量,以及如何進行分配才能使一個月內(nèi) 95%的會員獲得最佳滿意? 二、模型假設(shè) 1) 60%每月租賃 DVD 兩次的會員和 40%每月租賃一次的會員是服從均勻分布的。 2)每月租賃兩次的會員第一次租賃后能在較短時間內(nèi)歸還 DVD,每月租賃一次的會員應到期滿才還 DVD 3)老會員的退出與新會員加入的總數(shù)保持不變 4)一個會員不重復借同一種 DVD 5) DVD 在借出的時候應不考慮丟失等人為因素造成的損失 三、符號說明 im —— 第 i 種 DVD 的張數(shù) P —— 每月租賃兩次 DVD 的人數(shù)百分比 q —— 每月租賃一次 DVD 的人數(shù)百分比 C —— 每月要求租賃 DVD 的總?cè)藬?shù) N —— 每月實際租賃到 DVD 的人數(shù) Q —— 實際租賃到 DVD 的會員占總?cè)藬?shù)的百分比 3 四、模型建立與求解 模型一: 根據(jù)問題的分析: im 個第 ? 種 DVD 在一個月內(nèi), 首次借出可使 im 個會員觀看,根據(jù)假設(shè),這其中有 ipm 個會員在盡可能的時間內(nèi)歸還 DVD,從而又有 ipm 個會員租賃到 DVD,使租賃到 DVD 的人數(shù)增加到 uum pm? ,以此類推第 n 次租賃(一個月內(nèi))出去后,租賃到第 i 種 DVD 的會員總數(shù)為: 借 2 次可使 ? ?m pm? 個會員觀看; 借 n 次可使 ()nm pm p m? ? ?個會員觀看; 借助于上述問題分析和假設(shè)我們可以得到相應方程為: N= 21nni i i i im p m p m p m p m?? ? ? ? ( 1) ? 2(1 )niN m p p p? ? ? ? ? ( 2) 當租賃過程頻繁產(chǎn)生即 n ? ? 時得到以下模型: 11iNm p? ? ( 3) 或 11uCQ m p??? 問題一的求解 保證在一 個月內(nèi)至少 50%的會員能租賃到 DVD 的張數(shù)根據(jù)調(diào)查結(jié)果(表 1) DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意觀看的人數(shù) 200 100 50 25 10 表 1 對 1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果 由此可算出 10 萬個會員中愿意觀看這些 DVD 的人數(shù),如表 3 所示: DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意觀看的人數(shù) 20200 10000 5000 2500 1000 4 表 3 推算的 10萬個會員觀看結(jié)果 根據(jù)上述模型( 3) 11iNm p? ?和表 3 數(shù)據(jù),每種 DVD 要有 50%會員租賃到,必有: 11 2 0 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 4) 2 1 1 0 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 5) 31 5 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 6) 41 2 5 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 7) 51 1 0 0 0 5 0 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 8) 其中 1m 、 2m 、 3m 、 4m 、 5m 分別是五種 DVD 的張數(shù),通過解( 4)、( 5)、( 6)、( 7)、( 8)得: 1 4000m? 2 2020m ? 3 1000m ? 4 250m? 5 200m? 則要保證 50%會員在一個月內(nèi)看到 DVD,每種 DVD 需準備的張數(shù)依次如下表 (表 4)所示: DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 準備張數(shù) 4000 2020 1000 500 200 表 4 一個月內(nèi)要準備的 DVD張數(shù) 保證在三個月內(nèi)至少 95%的會員能看到,則所需 DVD 的張數(shù) 假設(shè) 每月租賃兩次的會員應盡快歸還 DVD,每月租賃一次的會員到月末才歸還DVD,則到月未所有租賃的 DVD 都已歸還,則有三個月有 95%以上的人能租賃到 DVD的模型為: 13 1im CQp ?? ( 9) 5 求解得: 1 13 2 0 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 10) 2 13 1 0 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 11) 3 13 5 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 12) 4 13 2 5 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 13) 5 13 1 0 0 0 9 5 %1 6 0 %m ? ? ?? ( 14) 其中 1m 、 2m 、 3m 、 4m 、 5m 分別是五種 DVD 的張數(shù),通過解( 10)、( 11)、( 12)、( 13)、( 14)得: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 則要保證 95%會員在三個月內(nèi)看到 DVD,每種 DVD 需準備的張數(shù)依次如下表(表 5)所示: DVD 名稱 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 準備張數(shù) 2534 1267 634 317 127 表 5 三個月內(nèi)要準備的 DVD的張數(shù) 問題二的求解 使會員獲得最大的滿意度, DVD 分配的模型及求解: 要使會員有較高的滿意度,首先必須做到:①滿足偏愛 DVD 的程度,即表示會員偏愛程度懂得三張 DVD 的數(shù)值和(以下都稱和值)盡可能小;②服務要有公正性,即每個會員的和盡可能接近,由此建立模型二: 模型二(見圖(一)): 6 具體程序及運行結(jié)果見附錄。 雖然此模型注意到了會員的偏愛程度和服務臺公正性,但通過計算機模擬發(fā)現(xiàn)此模型不能使盡可能多的會員及時租賃 DVD,需要長時間的等待,即該模型沒有考慮到服務的及時性和廣度。因此建立模型三(見圖二) 步驟如下圖所示: 開始 根據(jù)最大偏愛度進行第一次分配 根據(jù)滿意度最低原則與和值最小原則進行第二次分 配 根據(jù)滿意度最大原則與和值最小原則進行第三次分配 判斷有無存在等待分配的會員 根據(jù)優(yōu)化原則,將已分配到等待會員的 DVD 根據(jù)和值最小原則進行優(yōu)化調(diào)整。 結(jié)果 有 無 7
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