20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系-學(xué)案(已修改)
2025-04-03 00:20 本頁面
【正文】 方法技巧第2課時 直線與橢圓的位置關(guān)系 考點一 直線與橢圓的位置關(guān)系判斷【例1】 已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．【解】 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－49(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ0，即－3m3時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．(2)當(dāng)Δ＝0，即M＝177。3時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．(3)當(dāng)Δ0，即m－3或m3時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．方法技巧第研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù).(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點. 直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為( A )A．相交 B．相切C．相離 D．不確定解析：直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．考點二 弦長問題【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(ab0)的離心率為，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝，求直線AB的方程．【解】 (1)由題意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以橢圓方程為＋＝1.(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件．②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－(x－1)．將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|
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