【正文】 2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽（武漢賽區(qū)）決賽試卷（小學(xué)高年級組）一、填空題（共8小題，每小題10分，滿分80分）1．計(jì)算：＝　 ?。?．自動扶梯停止運(yùn)行時(shí)，一個(gè)小孩要用90秒鐘才能走完60米長的自動扶梯．自動扶梯運(yùn)行時(shí)則可用60秒鐘將乘客從底端送到頂端．若小孩在運(yùn)行的自動扶梯上行走，問小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要　 　秒．3．兩個(gè)騎車人在不同的賽道上訓(xùn)練．騎車人A用圓形賽道，其直徑是1千米；騎車人B用直線賽道，其長度為5千米． 騎車人A用10分鐘完成3圈，而騎車人B用5分鐘行進(jìn)了2個(gè)來回．那么騎車人A與騎車人B的速度比是（　　）A．1： B．π：10 C．3：4 D．3π：404．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同財(cái)產(chǎn)．猴老大來到山洞后將桃子按5：4的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；猴老二來到后，將剩下的桃子又按5：4的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；剩余的桃子歸猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29個(gè)桃子，則猴老二拿了　 　個(gè)桃子．5．如圖排列的前五個(gè)三角形都是直角三角形，則構(gòu)成這100個(gè)三角形的所有線段中有　 　條線段長度為整數(shù)．6．從…、7中選擇若干個(gè)數(shù)，使得其中偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和．則符合條件的取法（　?。┓N．A．6 B．7 C．8 D．97．若一個(gè)四位數(shù)5ab4是一個(gè)數(shù)的平方，則 a+b＝　 　．8．從小明家到游泳池的路上有200棵樹．在往返的路途中，小明用紅絲帶系在一些樹上做標(biāo)記，去游泳池的時(shí)候，他在第1棵樹、第6棵樹、第11棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔4棵樹標(biāo)記一棵；返回時(shí)，他在遇到的第1棵樹、第9棵樹、第17棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔7棵樹標(biāo)記一棵．則他回到家時(shí)，沒有被標(biāo)記的樹共有　 　棵．二、解答下列各題（每題10分，滿分40分）9．如圖，沿正方體XYTZ﹣ABCD的兩個(gè)平面BCTX和BDTY切割，將此正方體切成4塊．請問含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積的幾分之幾？10．如圖，ABCD是一個(gè)長方形，從G、F、E引出的小橫線都平行于AB．若AD＝12，則AG等于多少？11．影院正在放映《玩具總動員》、《冰河世紀(jì)》、《怪物史萊克》、《齊天大圣》四部動漫電影，票價(jià)分別為50元、55元、60元、65元．來影院的觀眾至少看一場，至多看兩場．因時(shí)間關(guān)系《冰河世紀(jì)》與《怪物史萊克》不能都觀看，若今天必有200人看電影所花的錢一樣多，則影院今天至少接待觀眾多少人？12．現(xiàn)有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在三棱柱ABC﹣A1B1C1各頂點(diǎn)上裝一個(gè)燈泡，要求同一條棱兩端點(diǎn)的燈泡顏色不相同，且每種顏色的燈泡都至少有一個(gè)，安裝方法共有多少種？三、解答下列題（共2小題，每題15分，）13．（15分）將從1到30的自然數(shù)分成兩組，使得第一組中所有數(shù)的乘積A能被第二組中所有數(shù)的乘積B整除．則的最小值是多少？14．（15分）如圖，在邊長大于20cm的正方形PQRS中，有一個(gè)最大的圓O，若圓周上一點(diǎn)T到PS的距離為8cm，到PQ的距離為9cm．則圓O的半徑是多少厘米？2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽（武漢賽區(qū)）決賽試卷（小學(xué)高年級組）參考答案與試題解析一、填空題（共8小題，每小題10分，滿分80分）1．計(jì)算：＝　2013?。痉治觥渴紫雀鶕?jù)平方差公式分別對繁分?jǐn)?shù)的分子和分母進(jìn)行化簡，然后再求解即可．【解答】解：＝＝＝2013故答案為：2013．2．自動扶梯停止運(yùn)行時(shí)，一個(gè)小孩要用90秒鐘才能走完60米長的自動扶梯．自動扶梯運(yùn)行時(shí)則可用60秒鐘將乘客從底端送到頂端．若小孩在運(yùn)行的自動扶梯上行走，問小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要　36　秒．【分析】把自動扶梯的長度看作單位“1”，則這個(gè)小孩走完60米長的自動扶梯所用時(shí)間為，自動扶梯將乘客從底端送到頂端用的時(shí)間為，那么小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要的時(shí)間為1247。（+），解決問題．【解答】解：1247。（+）＝1247。＝36（秒）答：小孩從扶梯底端到達(dá)頂端需要36秒．故答案為：36．3．兩個(gè)騎車人在不同的賽道上訓(xùn)練．騎車人A用圓形賽道，其直徑是1千米；騎車人B用直線賽道，其長度為5千米． 騎車人A用10分鐘完成3圈，而騎車人B用5分鐘行進(jìn)了2個(gè)來回．那么騎車人A與騎車人B的速度比是（　?。〢．1： B．π：10 C．3：4 D．3π：40【分析】通過分析可知；A的速度為：πD3247。10＝π10003247。10＝300π（米/分）B的速度為：500022247。5＝4000（米/分）其速度比為：A：B＝π10003247。10：500022247。5，據(jù)此解答即可．【解答】解：由題目中的數(shù)據(jù)，求得A的速度為：πD3247。10＝π10003247。10＝300π（米/分）B的速度為：500022247。5＝4000（米/分）其速度比為：A：B＝300π：4000＝3π：40故選：D．4．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同財(cái)產(chǎn)．猴老大來到山洞后將桃子按5：4的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；猴老二來到后，將剩下的桃子又按5：4的比例分成兩部分，并取走較多的一部分；剩余的桃子歸猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29個(gè)桃子，則猴老二拿了　20　個(gè)桃子．【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)這堆桃子的總量為單位“1”，分別求出三只猴子各拿走的比例，然后根據(jù)猴老大比猴老三多拿了29個(gè)桃子，求出桃子的總量，進(jìn)而求出猴老二拿了多少個(gè)桃子即可．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)這堆桃子為單位“1”，則猴老大拿走了，則猴老二拿走了：，猴老三拿走了：，則桃子的總數(shù)：＝81（個(gè)），候老二拿走的個(gè)數(shù)：81＝20（個(gè)）答：猴老二拿了20個(gè)桃子．故答案為：20．5．如圖排列的前五個(gè)三角形都是直角三角形，則構(gòu)成這100個(gè)三角形的所有線段中有　110　條線段長度為整數(shù)．【分析】觀察圖形可知：第一個(gè)三角形2條直角邊長度為整數(shù)，從第二個(gè)三角形開始，每個(gè)三角形都有一個(gè)邊長為1的直角邊；則邊長為1的線段有：2+99＝101（條）；前一個(gè)三角形的斜邊是后一個(gè)三角形的一個(gè)直角邊，根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)三角形斜邊的長，找出開方后為整數(shù)的邊，再加上101即可求出答案．【解答】解：觀察圖形可知：邊長為1的線段有：2+99＝101（條）；根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)三角形斜邊的長為：、…；根據(jù)：12＝1，22＝4，32＝9，…102＝100；可知三角形斜邊的長中有9個(gè)開方后為整數(shù)，即三角形斜邊的長中有9條邊的長度為整數(shù)．則：101+9＝110（條）答：構(gòu)成這100個(gè)三角形的所有線段中有110條線段長度為整數(shù)．故答案為：110．6．從…、7中選擇若干個(gè)數(shù)，使得其中偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和．則符合條件的取法（　?。┓N．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】找出1，2，3，…，7這7個(gè)自然數(shù)那些是奇數(shù)，哪些是偶數(shù)，列出符合條件偶數(shù)之和等于奇數(shù)之和的算式，據(jù)此解答即可．【解答】解：1，2，3，4，5，6，7中1，3，5，7是奇數(shù)，2，4，6是偶數(shù)，1+3＝41+5＝63+7＝4+63+5＝2+61+7＝2+61+5＝2+45+7＝2+4+6共7種故選：B．7．若一個(gè)四位數(shù)5ab4是一個(gè)數(shù)的平方，則 a+b＝　9　．【分析】702＝4900，802＝6400，5000多的一個(gè)四位數(shù)，應(yīng)該是70到80之間的一個(gè)兩位數(shù)的平方．又它的末位數(shù)是4，所以這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位只能是2或8．722＝5184，符合題意．再檢驗(yàn)一下782是否符合題意即可．【解答】解：722＝7272＝5184符合題意．782＝7878＝6084，不符合題意．舍去．所以a＝1，b＝8．a(chǎn)+b＝1+8＝9．故答案為：9．8．從小明家到游泳池的路上有200棵樹．在往返的路途中，小明用紅絲帶系在一些樹上做標(biāo)記，去游泳池的時(shí)候，他在第1棵樹、第6棵樹、第11棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔4棵樹標(biāo)記一棵；返回時(shí)，他在遇到的第1棵樹、第9棵樹、第17棵樹、…上做了標(biāo)記，每次都隔7棵樹標(biāo)記一棵．則他回到家時(shí)，沒有被標(biāo)記的樹共有　140　棵．【分析】根據(jù)題意，可得去游泳池的時(shí)候，每5棵樹標(biāo)記一棵，一共標(biāo)記了200247。5＝40棵；返回時(shí)，每8棵樹標(biāo)記一棵，一共標(biāo)記了200247。8＝25棵；重復(fù)標(biāo)記的棵數(shù)是200247。（58）＝5棵，用40加上25，減去5，求出一共標(biāo)記了多少棵樹，最后用200減去標(biāo)記的棵樹，求出沒有被標(biāo)記的樹共有多少棵即可．【解答】解：去游泳池的時(shí)候，每5棵樹標(biāo)記一棵，一共標(biāo)記了200247。5＝40（棵）；返回時(shí)，每8棵樹標(biāo)記一棵，一共標(biāo)記了200247。8＝25（棵）；重復(fù)標(biāo)記的棵數(shù)是200247。（58）＝5（棵），200﹣（40+25﹣5）＝200﹣60＝140（棵）答：沒有被標(biāo)記的樹共有140棵．故答案為：140．二、解答下列各題（每題10分，滿分40分）9．如圖，沿正方體XYTZ﹣ABCD的兩個(gè)平面BCTX和BDTY切割，將此正方體切成4塊．請問含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積的幾分之幾？【分析】沿面BCTX切割，此時(shí)含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積的，再沿BDTY切割，含有頂點(diǎn)A的那一塊占沿面BCTX切割后的，由乘法原理可得含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積為：＝．【解答】解：沿面BCTX切割，此時(shí)含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積的，再沿BDTY切割，含有頂點(diǎn)A的那一塊占沿面BCTX切割后的，所以含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積為：＝．答：含有頂點(diǎn)A的那一塊占正方體體積的．10．如圖，ABCD是一個(gè)長方形，從G、F、E引出的小橫線都平行于AB．若AD＝12，則AG等于多少？【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是一個(gè)長方形，所以它的對角線相等，點(diǎn)O是AC，BD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，先根據(jù)中位線的性質(zhì)求出AE的長，再根據(jù)EO與AB的比是1：2，F(xiàn)H∥EO，求出AF的長．再根據(jù)GR∥FH，求出AG的長．【解答】解：如圖：因?yàn)锳BCD是一個(gè)長方形且點(diǎn)G、F、E引出的小橫線都平行于AB所以GR∥FH∥EO∥AB所以△EOH∽△BAH所以；OH：AH＝EO：AB因?yàn)锳BCD是一個(gè)長方形所以AC＝BD＝2OC＝2OA＝2OB＝2ODAE＝AB所以，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)所以，EO：CD＝AO：AC＝1：2所以，OH：HA＝EO：AB＝AE：AD＝1：2所以AF：AE＝FH：EO＝AH：AO＝2：3又AD＝12所以，AE＝6，AF＝4FH：AB＝1：3又GR∥FH所以AG：AF＝AR：AH＝3：4所以AG＝AF＝4＝3．答：AG的長是3．11．影院正在放映《玩具總動員》、《冰河世紀(jì)》、《怪物史萊克》、《齊天大圣》四部動漫電影，票價(jià)分別為50元、55元、60元、65元．來影院的觀眾至少看一場，至多看兩場．因時(shí)間關(guān)系《冰河世紀(jì)》與《怪物史萊克》不能都觀看，若今天必有200人看電影所花的錢一樣多，則影院今天至少接待觀眾多少人？【分析】這個(gè)根據(jù)抽屜原理，觀眾花錢的選擇有：50，55，60，65，105，110，115，120，125，總共9種選擇，所以觀眾數(shù)為（200﹣1）9+1人．【解答】解：根據(jù)所給的條件，可以得到（200﹣1）9+1＝1792（人）答：影院今天至少接待觀眾1792人．12．現(xiàn)有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在三棱柱ABC﹣A1B1C1各頂點(diǎn)上裝一個(gè)燈泡，要求同一條棱兩端點(diǎn)的燈泡顏色不相同，且每種顏色的燈泡都至少有一個(gè)，安裝方法共有多少種？【分析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，為A、B、C三點(diǎn)選燈泡的顏色，由排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目，第二步，在ABC1中選一個(gè)裝第4種顏色的燈泡，第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，分類討論可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分3步進(jìn)行，第一步，為A、B、C三點(diǎn)選三種顏色燈泡共有A43種選法；第二步，在ABC1中選一個(gè)裝第4種顏色的燈泡，有3種情況；第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，假設(shè)剩下的為BC1，若B1與A同色，則C1只能選B點(diǎn)顏色；若B1與C同色，則C1有A、B處兩種顏色可選．故為BC1選燈泡共有3種選法，即剩下的兩個(gè)燈有3種情況，則共有A4333＝216種方法．答：安裝方法共有216種．三、解答下列題（共2小題，每題15分，）13．（15分）將從1到30的自然數(shù)分成兩組，使得第一組中所有數(shù)的乘積A能被第二組中所有數(shù)的乘積B整除．則的最小值是多少？【分析】首先把大數(shù)分解成多個(gè)小數(shù)的乘積，1﹣30內(nèi)就有了很多相同的小的整數(shù)，要求兩組數(shù)的商的最小值，說明兩組數(shù)的乘積很接近，把相同的小數(shù)均分到兩組里面，剩下的單個(gè)小數(shù)放到其中一個(gè)小組中，求出的最小值即可．【解答】解：1到30的自然數(shù)中質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，合數(shù)：4＝22，6＝23，8＝222，9＝33，10＝25，12＝223，14＝27，15＝35，16＝2222，18＝233，20＝225，21＝37，22＝211，24＝2223，25＝55，26＝213，27＝333，28＝227，30＝235，把所有的因數(shù)整理一下，一共是：26個(gè)2，14個(gè)3，7個(gè)5，4個(gè)7，2個(gè)11，2個(gè)13，1個(gè)17，1個(gè)19，1個(gè)23，1個(gè)29，即30!＝226314577411213217192329，若使最小，則質(zhì)因數(shù)只要盡量平分即可，則＝517192329＝1077205．答：的最小值是1077205．14．（15分）如圖，在邊長大于20cm的正方形PQRS中，有一個(gè)最大的圓O，若圓周上一點(diǎn)T到PS的距離為8cm，到PQ的距離為9cm．則圓O的半徑是多少厘米？【分析