【正文】 3 136 987 第二章：年金 練習(xí)題 1．證明 ? ?nmmnv v i a a? ? ?。 2．某人購(gòu)買一處住宅，價(jià)值 16 萬元，首期付款額為 A，余下的部分自下月起每月月初付 1000 元，共付 10 年。年計(jì)息 12 次的年名義利率為 % 。計(jì)算購(gòu)房首期付款額 A。 3. 已知7 ? , 11 ?, 18 ?, 計(jì)算 i 。 4．某人從 50 歲時(shí)起，每年年初在銀行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 歲起，每年年初從銀行提出一筆款作為生活費(fèi)用，擬提取 10 年。年利率為 10%，計(jì)算其每年生活費(fèi)用。 5．年金 A 的給付情況是： 1～ 10 年，每年年末給付 1000 元； 11～ 20 年，每年年末給付 2020 元； 21～ 30 年，每年年末給付 1000 元。年金 B 在 1～ 10 年，每年給付額為 K 元； 11～ 20 年給付額為 0； 21～ 30 年，每年年末給付 K 元，若A 與 B 的現(xiàn)值相等，已知 10 12v ? ，計(jì)算 K。 6． 化簡(jiǎn) ? ?10 2010 1a v v?? ， 并解釋該式意義。 7. 某人計(jì)劃在第 5 年年末從銀行取出 17 000 元，這 5 年中他每半年末在銀行存入一筆款項(xiàng)，前 5 次存款每次為 1000 元，后 5 次存款每次為 2020 元，計(jì)算每年計(jì)息 2 次的年名義利率。 8. 某期初付年金每次付款額為 1 元，共付 20 次，第 k 年的實(shí)際利率為18k? ，計(jì)算 V(2)。 9. 某人壽保險(xiǎn)的死亡給付受益人為三個(gè)子女，給付形式為永續(xù)年金，前兩個(gè)孩子第 1 到 n 年每年末平分所領(lǐng)取的年金， n 年后所有的年金只支付給第三個(gè)孩子 ，若三個(gè)孩子所領(lǐng)取的年金現(xiàn)值相等 ,那么 v=( ) A. 113n?????? B. 13n C. 13n?????? 11. 延期 5 年連續(xù)變化的年金共付款 6 年，在時(shí)刻 t 時(shí)的年付款率為 ? ?21t? ,t時(shí)刻的利息強(qiáng)度為 1/(1+t),該年金的現(xiàn)值為 （ ） 第三章：生命表基礎(chǔ) 練習(xí)題 1．給出生存函數(shù) ? ? 22500xs x e?? ，求： (1)人在 50 歲～ 60 歲之間死亡的概率。 (2)50 歲的人在 60 歲以前死亡的概率。 (3)人能活到 70 歲的概率。 (4)50 歲的人能活到 70 歲的概率。 2. 已知 Pr［ 5＜ T(60)≤ 6］ =， Pr［ T(60)＞ 5］ =，求 60q 。 3. 已知 80 ? ， 80 3129d ? ，求 81l 。 4. 設(shè)某群體的初始人數(shù)為 3 000 人， 20 年內(nèi)的預(yù)期死亡人數(shù)為 240 人，第 21 年和第 22 年的死亡人數(shù)分別為 15 人和 18 人。求生存函數(shù) s(x)在 20 歲、21 歲和 22 歲的值。 5. 如果 221 100x xx? ????,0≤ x≤ 100, 求 0l =10 000 時(shí)，在該生命表中 1歲到 4 歲之間的死亡人數(shù)為（ ）。 6. 已知 20 歲的生存人數(shù)為 1 000 人， 21 歲的生存人數(shù)為 998 人， 22 歲的生存人數(shù)為 992 人，則 | 201q為（ ）。 A. B. C. D. 第四章：人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值 練 習(xí) 題 1. 設(shè)生存函數(shù)為 ? ? 1100xsx?? (0≤ x≤ 100)，年利率 i =，計(jì)算 (保險(xiǎn)金額為 1 元 )： (1)躉繳純保費(fèi) 130:10ā的值。 (2)這一保險(xiǎn)給付額在簽單時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量 Z 的方差 Var(Z)。 2． 設(shè)年齡為 35 歲的人，購(gòu)買一張保險(xiǎn)金額為 1 000 元的 5 年定期壽險(xiǎn)保單，保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡的保單年度末給付，年利率 i=，試計(jì)算： (1)該保單的躉繳純保費(fèi)。 (2)該保單自 35 歲～ 39 歲各年齡的自然保費(fèi)之總額。 (3)(1)與 (2)的結(jié)果為何不同？為什么？ 3. 設(shè) ?A , 20 ? ?A , :20 ?A, 試計(jì)算： （ 1） 1:20xA 。 （ 2） 1:10xA 。 4． 試證在 UDD 假設(shè)條件下： (1) 1 1: :xn xni??AA 。 (2) 11:::xx n n x ni???ā AA 。 5． (x)購(gòu)買了一份 2 年定期壽險(xiǎn)保險(xiǎn)單，據(jù)保單規(guī)定，若 (x)在保險(xiǎn)期限內(nèi)發(fā) 生 保 險(xiǎn) 責(zé) 任 范 圍 內(nèi) 的 死 亡 ， 則 在 死 亡 年 末 可 得 保 險(xiǎn) 金 1 元，? ?0 .5 , 0 , 0 .1 7 7 1xq i V a r z? ? ? ，試求 1xq? 。 6 76 76 77 770 .8 , 4 0 0 , 3 6 0 , 0 .0 3 ,D D i? ? ? ? 求AA 。 7． 現(xiàn)年 30 歲的人，付躉繳純保費(fèi) 5 000 元，購(gòu)買一張 20 年定期壽險(xiǎn)保單，保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡時(shí)所處保單年度末支付，試求該保單的保險(xiǎn)金額。 8． 考慮在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)的那個(gè) 1m 年時(shí)段末給付 1 個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)，設(shè) k 是自保單生效起存活的完整年數(shù)， j 是死亡那 年存活的完整 1m 年的時(shí)段數(shù)。 (1) 求該保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi) ()mxA 。 (2) 設(shè)每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，證明 ()()mxxmii?AA 。 9． 現(xiàn)年 35 歲的人購(gòu)買了一份終身壽險(xiǎn)保單，保單規(guī)定：被保險(xiǎn)人在 10年內(nèi)死亡，給付金額為 15 000 元； 10 年后死亡，給付金額為 20 000 元。試求躉繳純保費(fèi)。 10．年齡為 40 歲的人，以現(xiàn)金 10 000 元購(gòu)買一份壽險(xiǎn)保單。保單規(guī)定：被保險(xiǎn)人在 5 年內(nèi)死亡，則在其死亡的年末給付金額 30 00 元；如在 5 年后死亡，則在其死亡的年末給付數(shù)額 R 元。試求 R 值。 11． 設(shè)年齡為 50 歲的人購(gòu)買一份壽險(xiǎn)保單，保單規(guī)定：被保險(xiǎn)人在 70 歲以前死亡，給付數(shù)額為 3 000 元；如至 70 歲時(shí)仍生存，給付金額為 1 500 元。試求該壽險(xiǎn)保單的躉繳純保費(fèi)。 12． 設(shè)某 30 歲的人購(gòu)買一份壽險(xiǎn)保單，該保單規(guī)定：若 (30)在第一個(gè)保單年計(jì)劃內(nèi)死亡，則在其死亡的保單年度末給付 5000 元，此后保額每年增加 1000元。求此遞增 終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。 13． 某一年齡支付下列保費(fèi)將獲得一個(gè) n 年期儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)保單： (1)1 000 元儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)且死亡時(shí)返還躉繳純保費(fèi)，這個(gè)保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為750 元。 (2)1 000 元儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人生存 n 年時(shí)給付保險(xiǎn)金額的 2 倍，死亡時(shí)返還躉繳純保費(fèi)，這個(gè)保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為 800 元。 若現(xiàn)有 1 700 元儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)，無保費(fèi)返還且死亡時(shí)無雙倍保障，死亡給付均發(fā)生在死亡年末，求這個(gè)保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。 14． 設(shè)年齡為 30 歲者購(gòu)買一死亡年末給付的終身壽險(xiǎn)保單，依保 單規(guī)定：被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付 10 000 元；在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付 9700 元；在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付 9400 元；每年遞減 300元，直至減到 4000 元為止，以后即維持此定額。試求其躉繳純保費(fèi)。 15. 某人在 40 歲投保的終身死亡險(xiǎn)，在死亡后立即給付 1 元保險(xiǎn)金。其中，給定 110xlx??,0≤ x≤ 110。利息力δ =。 Z 表示保險(xiǎn)人給付額的現(xiàn)值，則密度 ? ? 等于（ ） A. B. C. D. 16. 已知在每一年齡年 UDD 假設(shè)成立，表示式 ? ? ? ?xxI A I AA? ?( ) A. 2i ??? B. ? ?21 i?? C. 11d ?? D. 1ii????????? 17. 在 x 歲投保的一年期兩全保險(xiǎn)，在個(gè)體（ x）死亡的保單年度末給付 b元，生存保險(xiǎn)金為 e 元。保險(xiǎn)人給付額現(xiàn)值記為 Z, 則 Var(Z)=( ) A. ? ?22xxp q v b e? B. ? ?22xxp q v b e? C. ? ?2 2 2xxp q v b e? D. ? ?2 2 2xxv b q e p? 第五章：年金的精算現(xiàn)值 練 習(xí) 題 1． 設(shè)隨機(jī)變量 T＝ T(x)的概率密度函數(shù)為 0. 015( ) tf t e???(t≥ 0)，利息強(qiáng)度為δ＝ 。試計(jì)算精算現(xiàn)值 xa 。 2．設(shè) 10xa ? , 2 ? , ? ? 50TVar a ? 。試求：（ 1） ? ；（ 2） xā 。 3． 某人現(xiàn)年 50 歲，以 10000 元購(gòu)買于 51 歲開始給付的終身生存年金，試求其每年所得年金額。 4． 某人現(xiàn)年 23 歲，約定于 36 年內(nèi)每年年初繳付 2 000 元給某人壽保險(xiǎn)公司，如中途死亡，即行停止，所繳付款額也不退還。而當(dāng)此人活到 60 歲時(shí)，人壽保險(xiǎn)公司便開始給付第一次年金，直至死亡為止。試求此人每次所獲得的年金 額。 5． 某人現(xiàn)年 55 歲，在人壽保險(xiǎn)公司購(gòu)有終身生存年金，每月末給付年金額 250 元，試在 UDD 假設(shè)和利率 6%下，計(jì)算其精