【正文】 kMrrzabzZH101)( () ????? 10)()( NnnznhZH () 式（ ）中的 H(Z)稱為 N 階 IIR 濾波器函數(shù)式 ， （ ）中的 H(Z)稱為 N1 階 FIR 濾波器函數(shù)。無限長單位沖激響應（ IIR）濾波器的單位沖激響應 h（ n）是無限長的；系統(tǒng)函數(shù) H(Z)在有限 Z 平面（ 0＜︱ Z︱﹤∞）上有極點存在；結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。 頻率分析 任何給定信號的頻率分 析，都包含著時域信號向其頻率分量的轉(zhuǎn)換。之所以要在頻域內(nèi)對信號進行描述，因為在實現(xiàn)信號處理時，通常都利用以頻率響應形式描述的系統(tǒng)。而這些頻域信號處理概念時傅立葉變換是必不可少的。同時 Z 變換對進行數(shù)字系統(tǒng)分析和實現(xiàn)也極其重要。 傅立葉級數(shù)及傅立葉變換 任何周期信號 X(t)均可以表示為無窮多個諧波調(diào)諧相關的正弦波和復指數(shù)之和。具有周期 T0(秒 )周期信號 x(t)，其基本的數(shù)學表達式為具有系列定義的傅立葉級數(shù)： ????? ?? k tjkekctx )( () 式中 Ck為傅立葉級系數(shù)，第 k 個傅立葉系數(shù) Ck可以表示為 dttxTC t tjkk e? ??? 00)(1 () 用周期信號的傅立葉級數(shù)通過極限的方法導出的非周期信號的頻譜表示式，稱燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 8 為傅立葉變換 ： 傅立葉逆變換： ??? ?????? dXtx etj)(21)( ? () 傅立葉正變換： )(?X = dttf e tj??????? )( () Z 變換及系統(tǒng)函數(shù) 對于離散時間系統(tǒng)來說，與拉普拉斯對應的變換是是 Z 變換， Z 變換提供了離散時間信號和系統(tǒng)的頻域描述，并為數(shù)字濾波器的設計和實現(xiàn)，提供了有力的工具。 序列 x(n)的 Z 變換定義為 ： ????? ?? n nznxzX )()( () 式中 z 是一個復變量，定義中對 n 求和是在＋∞和－∞之間求和，稱為 邊 Z 變換。還有一種稱為單邊 Z 變換的定義，如下式： ??? ?? 0 )()( n nznxzX () 將系統(tǒng)的單位脈沖響應 h（ n） 進行 Z 變換，得到 H（ z） ,一般稱 H（ z）為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的頻域特性。對 N 階差分方程進行 Z 變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式 ???????? NiiiMiiizazbNzX zYzH00)()()( () 令 Z=ejω即得系統(tǒng)的傳輸函數(shù) H(ejω)。 燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 9 離散系統(tǒng)傅立葉變換（ DFT） 離散傅立葉變換是針對有限長序列或周期序列從存在的，相當把序列的連續(xù)傅立葉變換加以抽樣，頻率的離散化造成時間函數(shù)也呈周期，故級數(shù)應限制在一個周期內(nèi)。令 00 2 Fkk ?????? ，則 0???d ，我們即可得到離散傅立葉變換對為： ??? ??? ?? 10 000 )()()( Nn TjnkTjkjk F eee nTxXX (－ 1) eeee Tj nkNk TjkTj nkNk Tjks XNXnTx 0000 10100 )(1)()( ??? ???? ? ?? ???? (－ 2) 其中 NFf ss ????00表示有 限長序列的抽樣點數(shù)，或周期序列一個周期的抽樣點數(shù) 。 燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 10 2 雙音多頻（ DTMF）通信系統(tǒng) 雙音多頻（ DTMF）信號 過去的電話撥號時靠脈沖計數(shù)確定 0～ 9 這 10 個數(shù)字的，撥號速度慢，也不能擴展電話上網(wǎng)其他服務功能?，F(xiàn)在均采用雙音撥號。每一位號碼由兩個不同的單音頻組成，所有的頻率可分成高頻帶和低頻帶兩組。每一位號碼由一個高頻信號和一個低頻信號疊加形成， DTMF 信號有 16 個編碼。一般情況下，聲音信號很難造成對 DTMF 接收器的錯誤觸發(fā) 。 電話中的雙音多頻信號有兩個作用：用撥號信號去控制交換機接 通被叫的用戶電話機；控制電話機的各種動作，如播放留言、語音信箱等。 雙音多頻（ DTMF）信號的產(chǎn)生 DTMF 編碼器基于兩個二階數(shù)字正弦波振蕩器，一個用于產(chǎn)生行頻，一個用于產(chǎn)生列頻。典型的 DTMF 信號頻率范圍是 700~1700Hz，選取 8000Hz 作為采樣頻率， DTMF 雙音頻信號由兩個二階數(shù)字正弦振蕩器產(chǎn)生，一個用來產(chǎn)生行音頻信號，另一個產(chǎn)生列音頻信號。 在電話鍵盤上的每次按鍵，會產(chǎn)生 式（ ）表示的兩個音調(diào)之和。 規(guī)定用 8KHz 對 DTMF 信號進行采樣，采樣后得到時域離散信號為 )8 0 0 0/2s i n ()8 0 0 0/2s i n ()(21 nfnfnx ?? ?? () 兩個頻率 f1,f2 唯一確定了被按壓的鍵。具體數(shù)字對應的兩個頻率如表 所示。 燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 11 表 21 DTMF撥號頻率（第四列常被省略） 1209Hz 1336Hz 1477Hz 633Hz 697Hz 1 2 3 A 770Hz 4 5 6 B 852Hz 7 8 9 C 942Hz * 0 D 形成上面序列的方法有兩種，即計算法和查表法。用計算法求正弦波的序列值容易，但實際中要占用一 些計算時間，影響運行速度。查表法是預先將正弦波的各序列值計算出來，寄存在存儲器中，運行時只要按順序和一定的速度取出便可。這種方法要占用一定的存儲空間，但是速度快。 因為采樣頻率是 8000Hz，因此要求每 125ms 輸出一個樣本，得到的序列再送到 D/A 變換器和平滑濾波器，輸出便是連續(xù)時間的 DTMF 信號。 DTMF信號通過電話線路送到交換機 。 雙音多頻（ DTMF）信號的檢測 在接收端， 要對收到的 將收到的 雙音多頻信號進行檢測，即檢測兩個正弦波的頻率，以判斷其對應的十進制數(shù)字或者符號。用數(shù)字方法進行檢測，需要將接 收到的 模擬音頻信號進行 A/D 變換，恢復為數(shù)字信號，然后檢測其中的音頻頻譜來確定所發(fā)送的數(shù)字。 檢測方法有兩種，一種是 用一組濾波器來提取所需頻率 ，判斷對應的數(shù)字或符號；另一種是用 快速傅立葉變換（ FFT）算法的DFT 對雙音多頻信號進行頻譜分析 ， 有信號的幅度譜，判斷信號的兩個頻率，最后確定對應的數(shù)字或符號 。 還有一種 Goertzel 算法 更合適，但本文沒有做詳高 頻 低 頻 燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 12 細介紹，有興趣的可以查閱資料 。 由上面可以知道一個 DTMF信號是由兩個不通頻率 f1和 f2的正弦波組成，它可以用下式表示 )8 0 0 0/2s i n ()8 0 0 0/2s i n ()( 21 nfnfnx ?? ?? () 我們可以考慮通過離散傅立葉變換進行信號的頻譜分析來檢測離散的雙音多頻碼。這是因為只有時域及頻域都是離散的情況下，才能適合于在計算機上運算；也就是周期的離散時間信號與離散頻率間的變換對。 周期性離散時間信號 x（ n） 的離散傅立葉變換－周期性離散頻率函數(shù) X（ k） 兩相鄰譜線分量之間的角頻率增量與周期 pt 之間的關系可表示為Ft p ?? 212 ??? ， ptF 1? 代表信號的基頻。 取樣頻率 sf 與取樣周期 T 的關系是 Tfs 1? 取樣角頻率 T?2?? T 為時域取樣間隔 ，在一個周期內(nèi)取樣點數(shù)為 N。在自變量為 t 及 f 的情況下，在一個時域中對函數(shù)進行取樣，兩取樣點間增量的倒數(shù)，必是另一個域中函數(shù)的周期。現(xiàn) 序列的周期為 NT，所以對頻譜取樣的間距是 NT1 。以數(shù)字頻率表示時，則頻譜間距是 kN?? 20 ? k＝ 0， 1， …… ， N－ 1 令 NjNW?2??? 并稱之為 NW 因子。離散傅立葉變換 （ DFT） 可寫成如下形式： 燕山大學課程設計說明書 第 頁 共 32 頁 13 ????? 10 )()]([)( Nn knNWnxnxD F TkX ， 0 ≤k≤N－ 1 () DFT 的表達式可以直接寫成： ??? ???? 10 2)()( Nn NknjnxkX ??， k＝ 0， 1， …… ， N－ 1 ( ) 一般來說， x（ n） 和 nkNW 都是復數(shù)， X（ k） 也是復數(shù)，每計算一個X（ k） 值，需要 N 次復數(shù)乘法 (x（ n） 與 nkNW相乘 )以及 (N－ 1)次復數(shù)加法。而 X（ k） 一共有 N 個點（ k 從 0 取到 N－ 1），所以完成整個 DFT 運算總共需要 2N 次復數(shù)乘法及 N（ N－ 1） 次復數(shù)加法。復數(shù)運算實際上是由實數(shù)運算來完成的，因此上式可寫成： ???? 10 )()( Nn nkNWnxkX }][]Re [}{)]([)](Re [{10 nkNNn nkN WmjWnxmjnx ????? ? ??]}R e [)]([][)](( R e [])[)]([]R e [)]({ ( R e [10nkNnkNNnnkNnkNWnxmWmnxjWmnxmWnx???????? ??? () 由此可見，一次復數(shù)乘法 需用四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法；一次復數(shù)加法則需兩次復數(shù)加法。因而每運算一個需要 4N 次復數(shù)乘法和 2N＋ 2（ N1）=2(2N1)次實數(shù)加法。 所以，直接計算 DFT，乘法次數(shù)和加法次數(shù)都是和 2N 成正比的，當N 很大時，運算量是很可觀的，例如，當 N＝ 8 時， DFT 需 64次復數(shù)乘法，而當 N＝ 1024 時， DFT 所需復數(shù)乘法為 1， 048， 576 次，即一百多萬次復數(shù)乘法運算，這對實時性很強的信號處理來說，對計算速度的要求太高了。因而燕山大學課程設計說明書