20xx年成人高考(專升本筆記)高等數(shù)學(xué)一-文庫吧
2025-07-03 11:12 本頁面
【正文】 這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過在數(shù)列極限的定義中 一定表示 ，且n 是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出 ，且其中的 x 不一定是整數(shù)。 如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無限地趨于常數(shù) 2，因此有 （ 3）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限 定義 對(duì)于函數(shù) ，如果當(dāng)時(shí) ， 無限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) 時(shí)， 的極限是 A，記作 又如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無限地趨于常數(shù) 2，因此我們說，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的極限是 2，即有 由上述 ， ， 時(shí)，函數(shù) 極限的定義，不難看出： 時(shí)， 的極限是 A，這表示當(dāng)且僅當(dāng) 以及 時(shí)，函數(shù) 有相同的極限 A。 但是對(duì)函數(shù) 來講，因?yàn)橛?,即雖然當(dāng) 時(shí)， 的極限存在，當(dāng) 時(shí)， 的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng) 時(shí)， 的極限不存在。 例如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無限地趨于常數(shù) 1：當(dāng) 時(shí)， 也無限地趨于同一個(gè)常數(shù) 1，因此稱當(dāng) 時(shí) 的極限是 1，記作 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 其幾何意義如圖 3 所示 . （四）函數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存在，則極限值必定惟一。 定理 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù) ， ， 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)（ 可除外）滿足條件 且有 。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理 如果 則 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí)， 上述運(yùn)算法則不難推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，并有以下推論： 推論 （ 1） （ 2） （ 3） 用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零，另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于 的情形也都成立。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 （五）無窮小量和無窮大量 無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮小） 定義 對(duì)于函數(shù) ，如果自變量 x 在某個(gè)變化過程中，函數(shù) 的極限為零，則稱在該變化過程中， 為無窮小量，一般記作 在微積分中常用希臘字母 來表示無窮小量。 這里說的 自變量 x 在某個(gè)變化過程中 是指當(dāng) 或 ，或 ，或 ，或 ，或中的一個(gè)。為了簡(jiǎn)單起見，我們沒有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時(shí)將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量。 定理 函數(shù) 以 A 為極限的必要充分條件是： 可表示為 A 與一個(gè)無窮小量之和。 注意： （ 1）無窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)是變量無限趨于零的。 （ 2）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，例如 ， 。 所以，當(dāng) 時(shí)， 是無窮 小量；而當(dāng) 時(shí)， 就不是無窮小量。因此稱 為無窮小量時(shí)，必須指出自變量的變化趨勢(shì)。否則是毫無意義的。 （ 3）很小很小的數(shù)不是無窮小量，越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng) x 越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無窮小量。 （ 4）無窮小量不是一個(gè)數(shù)，但 0是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?。 （簡(jiǎn)稱無窮大） 定義 如果當(dāng)自變量 （或 ）時(shí)， 的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中， 為無窮大量。記作 。 無窮小量與
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