【正文】 秒走一格，時(shí)針3600秒走5格，則時(shí)針每秒走1/720格，每秒鐘秒針比時(shí)針多走719/720格。? 例：中午12點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合了多少次?? 析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針60格，每秒鐘追719/720格，則要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12個(gè)小時(shí)有12*3600秒時(shí)間，則可以追12*3600/43200/719＝710次。此時(shí)重合在12點(diǎn)位置上，即重合了719次。例：在時(shí)鐘盤面上，1點(diǎn)45分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？析：一點(diǎn)時(shí)，時(shí)針分針差5格，到45分時(shí)，分針比時(shí)針多走了11/12*45＝，一格是360/60＝6度，則成夾角是,*6=。? ? 例：3點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？? 析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時(shí)針以每分1/12速度的速度，分針以每分1格的速度相向而行，當(dāng)時(shí)針和分針離3距離相等，兩針相遇，行程15格，則耗時(shí)15 / 1+ 1/12 =180/13分。? 例：小明做作業(yè)的時(shí)間不足1時(shí)，他發(fā)現(xiàn)結(jié)束時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時(shí)間？? 析：只可能是這個(gè)圖形的情形，則分針走了大弧BA，時(shí)針走了小弧AB，即這段時(shí)間時(shí)針和分針共走了60格，而時(shí)針每分鐘1/12格，分針1格，則總共走了60/(1/12+1)=720/13分鐘，即花了720/13分鐘 五．方陣問題方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層的總?cè)藬?shù)多8每邊人數(shù)與該層人數(shù)關(guān)系是：最外層總?cè)藬?shù)＝（邊人數(shù)－1）4?方陣總?cè)藬?shù)＝最外層每邊人數(shù)的平方空心方陣的總?cè)?或物)數(shù)=（最外層每邊人(或物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）空心方陣的層數(shù)4去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)*21 例：某校的學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是96人，問這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生？ 析：最外層每邊的人數(shù)是96/4+1＝25，剛共有學(xué)生25*25=625 例：五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個(gè)方陣，其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8，如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人? 析：設(shè)乙最外邊每人數(shù)為Y，則丙為Y+*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)求出Y=14,則共有人數(shù)：14*14+8*8＝260例：明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子? 析：最外層有(151)*4=56個(gè)。則里二層為568*2=40 應(yīng)用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144十二、比賽問題，要產(chǎn)生男女冠軍各一名，則要安排單打賽多少場(chǎng)？()【解析】在此完全不必考慮男女運(yùn)動(dòng)員各自的人數(shù)，只需考慮把除男女冠軍以外的人淘汰掉就可以了，因此比賽場(chǎng)次是1002＝98(場(chǎng))。，采用單循環(huán)賽制，根據(jù)時(shí)間安排，只能進(jìn)行21場(chǎng)比賽，請(qǐng)問最多能有幾個(gè)代表隊(duì)參賽？()【解析】根據(jù)公式，采用單循環(huán)賽的比賽場(chǎng)次＝參賽選手?jǐn)?shù)（參賽選手?jǐn)?shù)1)/2，因此在21場(chǎng)比賽的限制下，參賽代表隊(duì)最多只能是7隊(duì)。，先被平均分成8組，以單循環(huán)的方式進(jìn)行小組賽；每組前2名隊(duì)員再進(jìn)行淘汰賽，直到?jīng)Q出冠軍。請(qǐng)問，共需安排幾場(chǎng)比賽？()【解析】 根據(jù)公式，第一階段中，32人被平均分成8組，每組4個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前2名需要進(jìn)行的比賽場(chǎng)次是：4（41)247。2＝6(場(chǎng))，8組共48場(chǎng)；第二階段中，有28＝16人進(jìn)行淘汰賽，決出冠軍，則需要比賽的場(chǎng)次就是：參賽選手的人數(shù)1，即15場(chǎng)。最后，總的比賽場(chǎng)次是48＋15＝63(場(chǎng))。，有12個(gè)隊(duì)報(bào)名參加，比賽采用混合制，即第一階段采用分2組進(jìn)行單循環(huán)比賽，每組前3名進(jìn)入第二階段；第二階段采用淘汰賽，決出前三名。如果一天只能進(jìn)行2場(chǎng)比賽，每6場(chǎng)需要休息一天，請(qǐng)問全部比賽共需幾天才能完成？()【解析】 根據(jù)公式，第一階段12個(gè)隊(duì)分成2組，每組6個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前2名需要進(jìn)行的比賽場(chǎng)次是：6（61)247。2＝15(場(chǎng))，2組共30場(chǎng)；第二階段中，有23＝6人進(jìn)行淘汰賽，決出前三名，則需要比賽的場(chǎng)次就是：參賽選手的人數(shù)，即6場(chǎng)，最后，總的比賽場(chǎng)次是30＋6＝36(場(chǎng))。又，“一天只能進(jìn)行2場(chǎng)比賽”，則36場(chǎng)需要18天；“每6場(chǎng)需要休息一天”，則36場(chǎng)需要休息36247。61＝5(天)，所以全部比賽完成共需18＋5＝23(天十三．其它問題例：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要14天，乙單獨(dú)做需要18天，丙丁合做需要8天。則4人合作需要（）天？A、4? B、5? C、6? D、7 析：丙丁合做需要8天，則丙丁平均效率16天，這里最差的18天，則選4。例：一項(xiàng)工作由編號(hào)為1～6的工作組來單獨(dú)完成，各自完成所需的時(shí)間是：5天，7天，8天，9天，18天?，F(xiàn)在將這項(xiàng)工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需要（）天？A、?? B、3?? C、?? D、6 析：平均分配給這些人做，則每人做1/6，需要的天數(shù)由最差效率的人決定。則需1/6 / 1/18 =3母親現(xiàn)在的年齡個(gè)位數(shù)跟十位數(shù)對(duì)調(diào)就是女兒的年齡。再過13年 母親的年齡就是女兒年齡的2倍。則母親年齡是（）A、52? B、42? C、41? D、44 析：此題不用列方程，直接代入即可。另一種方法是，母親現(xiàn)在的年齡加上13是偶數(shù)，則現(xiàn)在年齡是奇數(shù)。? 析：1－99里有20個(gè)2，100－199有20個(gè)2。0－999中，除了200299有100+20個(gè)2以外，每100都有20個(gè)2，則0－999共有2：120+9*20＝300 同理：3000－3999也有300個(gè)2 考慮20002999，因?yàn)?999含有300個(gè)2，這1000個(gè)數(shù)里，每個(gè)數(shù)其實(shí)都多加了一個(gè)2，則應(yīng)該含有1000+300個(gè)2。則共有2:1300+300+300。一般地：001－099有20個(gè)N（N表示1－9的任何數(shù)）100－199有20個(gè)N（N不能等于1)200－299有20個(gè)N（N不能等于2）……0000－0999有300個(gè)N，1000－1999有300個(gè)N（N不能等于1）2000－2999有300個(gè)N（N不能等于2）……00000－09999有4000個(gè)N 10000－19999有4000個(gè)N（N不能等于1）100000－199999有50000個(gè)N（N不能等于1）900000－999999有50000個(gè)N（N不能等于9）? 而：? 100199有120個(gè)1? 10001999有1300個(gè)1? 2000－2999有1300個(gè)2? 10000－19999有14000個(gè)1 100000－199999有150000個(gè)1。則此題中：思路1：0－999含2為300個(gè)，1000－1999含2為300個(gè)；2000－2999含2為1300個(gè)。則共有1900個(gè)2。思路2：0－3000中，百位以下（含百位）含2為，3*300＝900，千位含2為1000個(gè)。則共有1900個(gè)2。例：一本1000頁的書有多少個(gè)1？析：1000頁書中，0－999頁有300個(gè)1，1000又有1個(gè)1，則共有301個(gè)1。例：一本10000頁的書有多少個(gè)1？析：0－9999有4000個(gè)1,加上10000的一個(gè)1，則為4001個(gè)1。例：3000頁的書有多少個(gè)3? 析：0－999有300個(gè)3，1000－1999有300個(gè)3，2000－2999有300個(gè)3,3000有1個(gè)3,則3*300+1＝901頁? 析：此題與上題不同，問的是頁數(shù)。則因?yàn)榭偣灿?01個(gè)1，其中重復(fù)計(jì)算的111中的2個(gè)1，9個(gè)1X1，11X中9個(gè)1，X11有9個(gè)1，共有29個(gè)1，則有272個(gè)含1的。思路2：00－99中，含1的頁碼有10+9。則200－299，300－399……900－999，共有1的頁碼是：19*8。在100199中，含1頁碼為100，加上第1000頁，共有頁碼：19+19*8+100+1＝272頁。例：甲、乙、丙、丁四個(gè)人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個(gè)人在圖書館相遇，問下一次四個(gè)人在圖書館相遇是幾月幾號(hào)？??? ??? ??? 析：0 0 0 0 0 0 0，這是隔5天，實(shí)際上第一次（5月18日）相遇那天，過了6天，甲又去借書，再過6天又去借書，也就是過6的倍數(shù)天去借書。同理，乙是12倍數(shù)，丙是18倍數(shù)，丁是30倍數(shù)，最小公倍數(shù)是180，即過了180天，因?yàn)橛行∮?1的，：數(shù)學(xué)運(yùn)算題型眾多，本文并未全部涉及。欲繼續(xù)加強(qiáng)這部分的朋友，可以通過歷年真題+小學(xué)奧數(shù)眼神快速閱讀軟件七．比例問題、十字相乘法與濃度問題 一．排列組合問題八．?dāng)?shù)、整除、余數(shù)與剩余定理 被4整除：末兩位是4的倍數(shù)，如16,216,936… 被8整除：末三位是8的倍數(shù)，如144，2144，3152 被9整除：每位數(shù)字相加是9的倍數(shù)，如，81，936，549 被1?? 1整除：奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差是11的倍數(shù)。??如，121，231，9295 如果數(shù)A被C整除，數(shù)B被C整除，則，A+B 能被C整除。A*B也能被C整除? 如果A能被C整除，A能被B整除，BC互質(zhì)，則A能被B*C整除。??例：有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是：? 析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍數(shù)，5是5的倍數(shù)，則A是5的倍數(shù)，同理A是6的倍數(shù)，A是7的倍數(shù)，則A為最小公倍數(shù)，210，此題得解。? 原理用個(gè)例子解釋，一個(gè)數(shù)除以3余2，那么，這個(gè)數(shù)加3再除以3，余數(shù)還是2.? 一個(gè)數(shù)除以5余3，除以4余3，那么這個(gè)數(shù)加上5和4的公倍數(shù) 所得到的數(shù)，除3還是能得到這個(gè)結(jié)論。?例：一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有（）? 析：7是最小的滿足條件的數(shù)。9，5，4的最小公倍數(shù)為180，則187是第二個(gè)這樣的數(shù)，367，547，727，907共5個(gè)三位數(shù)。? 例：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人？? 析：題目轉(zhuǎn)化為，一個(gè)數(shù)除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，從最大的數(shù)開刀，先找出除以9余5的最小數(shù)，14。第二步，找出滿足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的數(shù)。14除以7不余1；再試14+9這個(gè)數(shù)，23除以7照樣不余1；數(shù)取14+9*4時(shí)，50除以7余1，即滿足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的數(shù)是，50；??? 第三步，找符合三個(gè)條件的。50除以5不余2，再來50+63（9，7的最小公倍數(shù)）＝123，除5仍不余2；再來，50+126，不余2；……當(dāng)50+63*4時(shí)，余2，滿足3個(gè)條件，即至少有302個(gè)人。? 例：自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，11000內(nèi)，10，9，8的公倍數(shù)為，360,720，則P為359,719。*86＝？出現(xiàn)如AB*AC=?，其中B+C=10，計(jì)算結(jié)果為：百位數(shù)為A(A+1)，十位/個(gè)位數(shù)為：B*C。注：如果B*C小于10，用0補(bǔ)足。如：29*21,百位數(shù)為2*3=6，個(gè)倍數(shù)為1*9＝9，,3次根號(hào)下5，哪個(gè)?。窟@類題，關(guān)鍵是用一個(gè)大次的根號(hào)包住兩個(gè)數(shù)。一個(gè)是2次根號(hào)，一個(gè)是3次根號(hào)，則應(yīng)該用6次根號(hào)包住它們。根號(hào)3，可以化成6次根號(hào)下27；3次根號(hào)下5，可化為6次根號(hào)下25,．等差數(shù)列? 十．抽屜問題解這類題的關(guān)鍵是，找出所有的可能性，然后用最不利的情況分析。例：一個(gè)布袋中由35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球,才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球？析：最不利的情況是，取出3個(gè)藍(lán)色球，又取了2個(gè)綠色球，白、黃、紅各取3個(gè)，這個(gè)時(shí)候再取一個(gè)就有4個(gè)是同一顏色的球了。即?。?+2+3*3+1＝15個(gè)球。例：從4……、12這12個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，他們的差是7？?? ?重點(diǎn)?? 析:考慮到這12個(gè)自然數(shù)中，滿足差為7的組合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五種，還有6,7兩個(gè)數(shù)沒有出現(xiàn)過，則最不幸的情況就是，（12，5）等都取了一個(gè)，即五個(gè)抽屜取了五個(gè)，還有6,7各取一個(gè)，再取一個(gè)就有兩個(gè)數(shù)差為7了，則取了5+2+1=8個(gè)。例：學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同 析：不同的情況有，都不參加、參加語文、參加數(shù)學(xué)、參加美術(shù)、參加語文和數(shù)學(xué)、參加語文和美術(shù)、參加數(shù)學(xué)和美術(shù)，最不幸的情況是，4組人都參加了這7項(xiàng)，共28項(xiàng)，這樣，再加入1人，即29人時(shí)，滿足題意。這種題型，土方法就是找一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)代入。X^3+Y^3=(x+y)(x^2xy+y^2)例：已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2x)，則f(2)是多少？析：既然f(2+x)=f(2x)，當(dāng)x=2時(shí)，方程成立，即f(4)=f(0)，求得a=4，得解。例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求f(2008)=? 析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0 例：f(x+1)=1/f(x),f(2)=(2007)=? 析：f(3)=1/f(2)=1/2007，f(4)=1/1/2007=2007，f(5)=1/2007，則f(2007)=1/2007 例：f(2x1)=4*X^22x,求f(x)析：設(shè)2x1=u，則x=u+1 / 2，則f(u)=4*((u+1)/2)^22*(u+1)/2 =u^2+u 所以f(x)=x^2+x例：某企業(yè)的凈利潤(rùn)y(單位：10萬元）與產(chǎn)量x(單位：100萬件)之間的關(guān)系為y=x^2+4*x+1，問該企業(yè)的凈利潤(rùn)的最大值是多少萬元？（）A． 10 B．20 C．30 D．50 析：y=(x2)^2+5，則y最