【正文】 簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高學(xué)習(xí)效率?！景咐?】有一張三角形紙片ABC，其中BC=6，∠C=90176。，∠A=30176。(1)如圖1，若用這張紙片裁剪出一個(gè)矩形CDEF，使點(diǎn)D、E、F分別落在AC、AB、BC上，且使矩形CDEF的面積最大，則點(diǎn)E應(yīng)選在何處？(2)如圖2，若用這張紙片裁剪出一個(gè)矩形DEFG，使點(diǎn)D、G分別落在AC、BC上，點(diǎn)E、F均在AB上，且使矩形DEFG的面積最大，則點(diǎn)E應(yīng)選在何處？圖1圖2對(duì)于上述題組，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解解決該問(wèn)題的關(guān)鍵，而學(xué)生很難找到解題的突破口，因而退避三舍。這里運(yùn)用幾何畫(huà)板就能有效突破難點(diǎn)，幾何畫(huà)板為學(xué)生尋求解題模型提供了便利。第（1）問(wèn)中，若假設(shè)AE的長(zhǎng)為x，則矩形CDEF的面積可表示為y=13x2+33x，用幾何畫(huà)板構(gòu)造動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，再運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)追蹤功能，就能直觀地演示當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上4運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖3），幫助學(xué)生快速建立二次函數(shù)模型來(lái)解題。第（2）問(wèn)中，也可以設(shè)AE的長(zhǎng)為x，則矩形CDEF的面積可表示為y=43x2+43x，類似地用幾何畫(huà)板直觀地演示動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖4）。用幾何畫(huà)9板將數(shù)、形之間的關(guān)系動(dòng)態(tài)地展示出來(lái)，活躍了學(xué)生的思維活動(dòng)，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)形象，容易接受。圖3圖4二、探究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把握問(wèn)題本質(zhì)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不僅需要演繹、推理，也需要實(shí)驗(yàn)、歸納。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種新穎的數(shù)學(xué)研究方法，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新形式。廣義的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在特定的實(shí)驗(yàn)條件下，實(shí)驗(yàn)者為了解決某個(gè)未知問(wèn)題，驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想，獲取某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用一定的技術(shù)手段或工具，并以數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，將實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的處理，從而解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容或構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的一類數(shù)學(xué)研究活動(dòng)。進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，既要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象化、形式化的一面，還要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中經(jīng)驗(yàn)化、具體化的一面，為此可以利用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，輔助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì)?！景咐?】在初中數(shù)學(xué)“中點(diǎn)四邊形”的探究活動(dòng)中，教師可以運(yùn)用幾何畫(huà)板引導(dǎo)學(xué)生探究中點(diǎn)四邊形的特征，探究的過(guò)程如圖5所示。圖5 “中點(diǎn)四邊形”的探究過(guò)程HDGCEB對(duì)角線相等DHAEFBGCAEHD幾何畫(huà)板為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造GCFB了良速地畫(huà)功狀時(shí)(1)AF好的條件，利用其實(shí)時(shí)度量功能，能快為學(xué)生提供精準(zhǔn)的度量數(shù)據(jù)，利用其動(dòng)能，可以動(dòng)態(tài)地展示任意改變四邊形形某些幾何元素的變化情況，這有利于學(xué)對(duì)角線互相垂直對(duì)角線相等且互相垂直(2)圖6(3)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題背后所隱藏的規(guī)律。教學(xué)時(shí)，先用“幾何畫(huà)板”課件進(jìn)行演示，通過(guò)點(diǎn)擊不同的按鈕來(lái)改變四邊形的對(duì)角線的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系（如圖6），讓學(xué)生觀察中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是如何變化的，它與原四邊形ABCD的哪些量有關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生歸納出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律。這些實(shí)驗(yàn)操作既讓學(xué)生體驗(yàn)了由特殊到一般、由一般到特殊的數(shù)學(xué)研究過(guò)程，又讓學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握了四邊形的有關(guān)知識(shí)。幾何畫(huà)板所呈現(xiàn)的豐富的動(dòng)態(tài)圖形，極大地開(kāi)闊了學(xué)生的視野，給學(xué)生提供了更多“發(fā)現(xiàn)”的機(jī)會(huì)。三、輔助變式教學(xué)，提升課堂效率變式教學(xué)是促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效的教學(xué)方式，長(zhǎng)期以來(lái)被數(shù)學(xué)教師廣泛地用于教學(xué)之中。在現(xiàn)代信息技術(shù)不斷發(fā)展的背景下，重新審視數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著深遠(yuǎn)的意義。幾何畫(huà)板所具有的圖形動(dòng)畫(huà)處理、幾何變換、自動(dòng)推理、符號(hào)計(jì)算等功能，為數(shù)學(xué)變式教學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)簡(jiǎn)易、快捷的智能操作平臺(tái)。在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，利用幾何畫(huà)板從不同層次、不同角度、不同途徑、不同背景這四方面變更數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容或形式，引導(dǎo)學(xué)生從變化的現(xiàn)象中抓住不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變化的規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及形成的過(guò)程，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，增加思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的技能。【案例3】如圖7，已知∠AOB=90176。，P 為∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，PC交AO于N，PD交BO于M。若∠PNO=∠PMO=90176。，則利用角平分線的性質(zhì)易證：PM=PN。變式1：如圖8，若保持∠CPD=90176。不變，將∠CPD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，則PM與PN仍相等嗎？變式2：如圖9，若將題目背景改為P為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)，∠CPD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，并保持∠CPD=90176。不變，則PM與PN仍相等嗎？變式3：如圖10，若將已知條件“∠AOB=90176?！备臑椤啊螦OB=a(0176。a180176。)”，條件“∠PNO=∠PMO=90176?！备臑椤啊螾NO+∠PMO=180176。”，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？變式1113，P形的中心，4：如圖為正多邊仍保持圖7 圖8 圖9 圖10∠PNO+∠PMO=180176。，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？在初中階段存在一些典型的幾何變換問(wèn)題，由于傳統(tǒng)的變式教學(xué)無(wú)法直觀、形象地演示圖形的變化過(guò)程，使得學(xué)生的認(rèn)知不能深入到問(wèn)題的內(nèi)部本質(zhì)，此時(shí)可借助幾何畫(huà)板的幾何變換、動(dòng)畫(huà)等功能，將幾何圖形因條件改變而變化的過(guò)程從不同角度呈現(xiàn)出來(lái)。盡管圖形的部分條件發(fā)生變化，但解題思路依然沒(méi)變，上述變式題組的基本模型如圖14所示，其中一個(gè)直角三角形是由另一個(gè)直角三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)而得到。利用幾何畫(huà)板的復(fù)制和動(dòng)態(tài)模擬功能，可以從復(fù)雜圖形中分離出基本模型，并使其與原圖形保持同步變化，這樣有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形，學(xué)會(huì)從基本模型入手尋找解題的突破口，從而收到觸類旁通、舉一反三的效果。數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地整合幾何畫(huà)板，能讓學(xué)生真正參與問(wèn)題的解決過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，構(gòu)建清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深刻地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。幾何畫(huà)板豐富了教學(xué)的手段，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力，使得在傳統(tǒng)的筆紙環(huán)境中無(wú)法開(kāi)展的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)能真正開(kāi)展起來(lái)，更重要的是它使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得直觀、形象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生從傳統(tǒng)的被動(dòng)式學(xué)習(xí)向主動(dòng)式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換。但值得注意的是，教學(xué)中不能用幾何畫(huà)板完全代替教師的板書(shū)和學(xué)生的思維訓(xùn)練，幾何畫(huà)板只能視為輔助教師解決教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題、提高教學(xué)效率、輔助學(xué)生思維的工具。隨著課程改革的不斷推進(jìn)，日新月異的信息技術(shù)必然會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的變化。如何在教學(xué)中恰到好處地運(yùn)用幾何畫(huà)板，更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，仍需要教育工作者不斷地去探索。參考文獻(xiàn)：[1] 中華人民共和國(guó)教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012． [2] G波利亞．怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M]．上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002． [3] 鮑建生，黃金榮，易凌峰，顧冷沅．變式教學(xué)研究（續(xù)）[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003，（2）：610． [4] 陶維林．幾何畫(huà)板實(shí)用范例教程[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2011．第三篇：幾何畫(huà)板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究幾何畫(huà)板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究前言數(shù)學(xué)是一門(mén)強(qiáng)調(diào)邏輯性的學(xué)科，并且也是一門(mén)強(qiáng)調(diào)專業(yè)性的學(xué)科。對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，在教學(xué)中除了要具備必備的專業(yè)知識(shí)以及教學(xué)能力之外，還需要具備和數(shù)學(xué)相近的計(jì)算、空間、歸納演繹以及推理方面的專業(yè)能力，并且可以通過(guò)這些專業(yè)能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)更好地傳授給學(xué)生。在信息技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)快速發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式和手段已經(jīng)難以說(shuō)符合時(shí)代所需。同時(shí)在新課標(biāo)的規(guī)定中，課堂教學(xué)也更加自由和開(kāi)放，教學(xué)的不確定性大大增加。在此背景下怎樣保障教學(xué)質(zhì)量，甚至是提升教學(xué)質(zhì)量，是每一位初中數(shù)學(xué)教師都必須思考的問(wèn)題。充分利用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量有著十分明顯的促進(jìn)效果，并且已對(duì)目前諸多學(xué)科教學(xué)產(chǎn)生一定的影響。初中數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生整體發(fā)展而言具有極其重要的意義，同時(shí)，內(nèi)容體系中的幾何部分對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和邏輯能力具有一定的幫助作用。依托于現(xiàn)代信息技術(shù)而誕生的幾何畫(huà)板，其在幾何教學(xué)中的充分使用，對(duì)幫助學(xué)生形象化、具體化地理解數(shù)學(xué)幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，有著十分明顯的促進(jìn)效果，因此值得每一位初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中充分合理地使用。幾何畫(huà)板具有作圖精準(zhǔn)、演示交互以及計(jì)算精準(zhǔn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用能夠很好地提升教學(xué)質(zhì)量。但是就實(shí)際情況而言，幾何畫(huà)板目前在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用并沒(méi)有得到廣泛的普及，同時(shí)很多教師對(duì)幾何畫(huà)板的教學(xué)意義還沒(méi)有清晰的認(rèn)識(shí)。為此通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷的形式，調(diào)查研究教師對(duì)幾何畫(huà)板的使用情況。調(diào)查結(jié)果顯示，雖然很多教師對(duì)幾何畫(huà)板的制作能力和運(yùn)用水平存在不足，但是使用幾何畫(huà)板的教師在教學(xué)質(zhì)量上卻有很大提升[1]。因此，需要展開(kāi)對(duì)幾何畫(huà)板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐途徑研究，讓教師更加深刻地認(rèn)識(shí)到幾何畫(huà)板對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值所在?；诖?，本文對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析，繼而提出教師在教學(xué)中合理使用幾何畫(huà)板的方法，希望為廣大初中數(shù)學(xué)教師以啟迪和參考。調(diào)查問(wèn)卷結(jié)果分析本研究以針對(duì)某一中學(xué)的12位初中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行的一次問(wèn)卷調(diào)查為依據(jù)，本次調(diào)查共發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷12份，收回12份，問(wèn)卷有效率達(dá)到100%[2]，下面對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。首先對(duì)12位教師的多媒體應(yīng)用情況以及幾何畫(huà)板的制作能力進(jìn)行調(diào)查。分析結(jié)果可知，很多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)上對(duì)多媒體有所涉及，但是能夠熟練制作幾何畫(huà)板的只有三人。這一方面說(shuō)明了幾何畫(huà)板在該學(xué)校的使用率很低，另一方面也說(shuō)明了教師在幾何畫(huà)板的認(rèn)知上存在嚴(yán)重不足。在簡(jiǎn)單地向教師演示了幾何畫(huà)板，并且指導(dǎo)他們?cè)诮虒W(xué)中使用一段時(shí)間的幾何畫(huà)板后，針對(duì)教師使用幾何畫(huà)板后的教學(xué)變化進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查結(jié)果清晰地表明，近四分之三的教師認(rèn)為使用幾何畫(huà)板能夠改變以往陳舊的教學(xué)觀念；有一半的教師認(rèn)為，通過(guò)運(yùn)用幾何畫(huà)板，自己的教學(xué)方式得到了很大的改善；有五分之四的教師認(rèn)為，幾何畫(huà)板的使用對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有明顯的效果；有三分之二的教師認(rèn)為，幾何畫(huà)板的使用對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的講解有很大的幫助；同時(shí)，所有的教師都認(rèn)為幾何畫(huà)板具有十分明顯的教學(xué)效果[3]。將幾何畫(huà)板應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑從上文的調(diào)查結(jié)果分析，可以清楚地知道教師都認(rèn)為使用幾何畫(huà)板對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣等諸多方面有著十分明顯的效果，但是同時(shí)也存在很多教師不會(huì)使用幾何畫(huà)板的現(xiàn)象。為此，針對(duì)如何把幾何畫(huà)板應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行討論。對(duì)于初中的數(shù)學(xué)學(xué)科而言，其屬于一門(mén)極其抽象的學(xué)科，使用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，對(duì)于一些空間思維能力以及邏輯能力不足的學(xué)生，在理解上難度很大，因此，教學(xué)的質(zhì)量難以保障。將幾何畫(huà)板應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以將一些極其抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象化和具體化，將其實(shí)實(shí)在在地呈現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)而幫助學(xué)生更為直觀地去理解，具有十分明顯的增強(qiáng)教學(xué)效果的作用[4]。有理數(shù)的認(rèn)識(shí) 有理數(shù)的認(rèn)識(shí)一課是有較大難度的初一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，教師在進(jìn)行該課時(shí)的教學(xué)時(shí)就可以引進(jìn)幾何畫(huà)板，進(jìn)而讓學(xué)生逐漸接受幾何畫(huà)板的教學(xué)方式。教師可以使用幾何畫(huà)板制作一個(gè)坐標(biāo)系，具體而言是一個(gè)橫坐標(biāo)，通過(guò)在橫坐標(biāo)上標(biāo)記數(shù)字，讓學(xué)生更為直觀地對(duì)橫坐標(biāo)上的數(shù)進(jìn)行觀察，就可以讓學(xué)生把坐標(biāo)和數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，這也就能直接幫助學(xué)生理解和掌握有理數(shù)知識(shí)。三角形中位線定義 三角形也是在初中數(shù)學(xué)中難度較大的知識(shí)點(diǎn)之一，同時(shí)是幾何知識(shí)體系中極其重要的組成部分。但是就目前的大多數(shù)教材而言，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究的一開(kāi)始，就將結(jié)論或者概念給出，這對(duì)學(xué)生而言十分突兀。此外，教師通過(guò)口頭的闡述也難以對(duì)三角形的相關(guān)概念有一個(gè)清楚的描述，因此導(dǎo)致很多學(xué)生在三角形的相關(guān)概念的理解上存在諸多問(wèn)題[5]。教師在三角形的相關(guān)概念的教學(xué)上可以充分使用幾何畫(huà)板，來(lái)消除這方面教學(xué)的弊端。如在三