【正文】 它是由美國 Mathworks 公司于 1984 年正式推出的一種面向科學與工程的計算軟件，是一種以矩陣運算為基礎的交寧夏大學新華學院本科學位論文 2 互式程序語言，專門針對科學、工程計算及繪圖的需求。隨著版本的不斷升級，內(nèi)容不斷擴充，功能更加強大，從而被廣泛應用于仿真技術(shù)、自動控制和數(shù)字信號處理等領域。全球現(xiàn)有超過五十萬的企業(yè)用戶和上千萬的個人用戶，廣泛分布在航空航天、金融財務、機械化工、電信、教育等各個行業(yè)。通過 Matlab 和相關工具箱，工程師、科研人員、數(shù)學家和教育工作者可以在統(tǒng)一的平臺下完成相應的科學計算工作。 Matlab 本身包含了 600 余個用于數(shù)學計算、統(tǒng)計和工程處理的函數(shù)，這樣，就可以迅速完成科學計算任務而不必進行額外的開發(fā)。業(yè)內(nèi)領先的工具箱算法極大的擴展了Matlab 的應用領域，所以 Matlab 自推出以來就受到廣泛的關注，信號處理工具箱就是其中之一，在信號處理工具箱中， Matlab 提供了濾波器分析、濾波器實現(xiàn)、 FIR 濾波器實現(xiàn)、 IIR 數(shù)字濾波器設計、 IIR 數(shù)字濾波器階次估計等方面的函數(shù)命令。 由于我們所面對的工程問題越來越復雜，過去所依賴分析的技術(shù)已逐漸不敷使用。利用電腦來分析及解決工程問題已是當今工程師的必要工具。使用 Matlab 軟件進行科學計算，能夠極大加快科研人員進行研究開發(fā)的進度，減少在編寫程序和開發(fā)算法方面所消耗的時間和有限的經(jīng)費，從而獲得最大的效能。 IIR 數(shù)字濾波器技術(shù)設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設計公式，而且還有較為完整的圖表可供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾 波器的設計帶來很大方便。濾波器設計最重要的是尋找一個穩(wěn)定、因果的系統(tǒng)函數(shù)去逼近濾波器的技術(shù)指標，因此模擬濾波器的設計十分重要。實際中，有三種廣泛應用的濾波器，即巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器，橢圓低通濾波器。在設計了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。這些變換均是復值映射，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。其中，最重要的有兩種：脈沖響應不變法（保持脈沖響應不變，又叫沖激響應不變法）和雙線性 Z 變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。除了低通數(shù)字濾波器之外，實際中還常常需 要高通、帶通、及帶阻數(shù)字濾波器。即基于濾波器轉(zhuǎn)換法的 IIR 數(shù)字濾波器設計 直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器的設計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設計圖表進行的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設計中只考慮到了幅度特性，沒考慮到相位特性，所設計的濾波器相位特性一般是非線性的。為得到線性相位特性，必須增加相位校正網(wǎng)絡，使濾波器設計變得復雜。而 FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性。設計 FIR 數(shù)字濾波器的基本方法有窗 函數(shù)法，頻率抽樣法，等波紋切比雪夫逼近法等，窗函數(shù)在設計 FIR 數(shù)字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數(shù)可以提高所設計的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設計要求的情況下，減小 FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)。窗函數(shù)法的 FIR 數(shù)字濾波器設計 海明窗設計數(shù)寧夏大學新華學院本科學位論文 3 字低通濾波器、漢寧窗設計數(shù)字高通濾波器、布拉克曼窗及三角窗設計數(shù)字帶通濾波器和漢寧窗設計數(shù)字帶阻濾波器。 通過數(shù)學方法對數(shù)字濾波器進行分析、建模、編寫 Ｍ 文件，應用 Matlab 軟件進行仿真及結(jié)果分析。 寧夏大學新華學院本科學位論文 4 第 2章 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器的定義 濾波器 (filter)，是一種用來消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過過濾而得到純凈的直流電。對特定頻率的頻點或該頻點以外的頻率進行有效濾除的電路，就是濾波器，其功能就是得到一個特定頻率或消除一個特定頻率。 數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。 數(shù)字濾波器的分類 根據(jù)沖激響應函數(shù)的時間特性，數(shù)字濾波器分為 IIR(Infinite Impulse Response)數(shù)字濾波器和 FIR(Finite Impulse Response)數(shù)字濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器存在反饋支路，即信號流圖中存在環(huán)路，其單位沖激響應為無限長； FIR 數(shù)字濾波器不存在反饋支路，其單位沖激響應為有限長。 IIR 數(shù)字濾波器設計方法 模擬濾波器設計 IIR 數(shù)字濾波器設計通常是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。模擬濾波器的設計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設計帶來很大方便 。 巴特沃斯低通濾波器設計 巴特沃斯的特點是同頻帶內(nèi)的頻率響應曲線最為平坦，沒有起伏，在截止頻率以外，頻率響應單調(diào)下降。在通帶中是理想的單位響應，在阻帶中響應為 0。在截止頻率處有3dB 的衰減。巴特沃斯濾波器過渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。而高階巴特沃斯濾波器的頻率響應近似于理想低通濾波器。 巴特沃斯 (Butterworth)低通濾波器的幅度平方函數(shù) |)(| 2?jH 用下式表示： ? ?NcjH 22 1 1|)(| ????? () 式中， N表示濾波器的階數(shù)。當 ?=0 時， |)(| ?jH =1；當 ?=?c 時， |)(| ?jH =1/ 2 ， ?c為 3dB 截止頻率。 切比雪夫低通濾 波器設計 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶內(nèi)部都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。因此當通帶的邊緣能夠滿足指標要求時，在通帶的內(nèi)部肯定會有較大富余量，造成濾波器的階次 N 比較高。因此，更有效地設計方法是將逼近精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。 寧夏大學新華學院本科學位論文 5 切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫 I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào) 下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫 II 型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。 切比雪夫 I 型濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ?????? ??????CjHN22211|)(|? () 式中， ? 為小于 1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， ? 越大，波動幅度也越大； ??xCN是的切比雪夫多 項式，它的定義為： ? ? ? ?? ?? ?? ???? ? ?? 1||, 1||,a rc c osc os xxNar c hch xxNxC N () 而切比雪夫 II型濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ? ?? ?????? ?cNCjH 22 12 1 1|)(| ? () 式中， ? 為小于 1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， ?C 為截止頻率； N為濾波器的階次。 橢圓低通濾波器設計 橢圓 (Elliptic)濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關，所以由此取名為橢圓濾波器。又因為在 1931年，考爾(Cauer)首先提出了采樣有限零點設計的濾波器，所以其另一個通用名字為考爾 (Carer)濾波器。 橢圓低通濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ? ? ? ????? UjH N222 1 1|| ? () 式中 ???UN2 是雅可比橢圓函數(shù) ， ? 是與通帶衰減有關的函數(shù)。濾波器階次 N 等于通帶和阻帶內(nèi)最大點和最小點的和。 模擬 數(shù)字濾波器設計 利用模擬濾波器成熟的理論及其設計方法來設計 IIR 數(shù)字低通濾波器是常用的方法。設計過程是：按照數(shù)字濾波器技術(shù)指標要求設計一個過渡模擬低通濾波器 ??sHa ，再按照一定的轉(zhuǎn)換關系將 ??sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH 。由此可見，設計的關鍵問 題就是找到這種轉(zhuǎn)換關系，將 s 平面上的 ??sHa 轉(zhuǎn)換成 z 平面上的 ??zH 。為了保證轉(zhuǎn)換后的 ??zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標要求，對轉(zhuǎn)換關系提出兩點要求： (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬寧夏大學新華學院本科學位論文 6 濾波器因果穩(wěn)定的條件是其系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 的極點全部位于 s 平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定的條件時 ??zH 的極點全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關系應使 s平面的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi)部。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響特性， s 平面的虛軸映射為 z 平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關系。 將系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 從 s 平面轉(zhuǎn)換到 z 平面的方法有很多種，但工程上常用的是脈沖響應不變法和雙線性變換法。 脈沖響應不變法 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ??sHa ，相應的單位沖激響應為 ??th ,并將脈沖響應 ??th進行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應 ??nh 剛好等于 ??th 的采樣值，即： )()()()()(0 sn snTt nThnTtththnh s ???? ???? ? （ ） 其中 sT 為采樣周期。 ??sHa 是模擬濾波器的系統(tǒng)傳 遞函數(shù)，又令 ??zH 是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。采樣信號的拉式變換與相應的采樣序列 Z變換的映射關系為： ez sT? （ ） 所以系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 和 ??zH 的關系為： ? ? ? ?? ??? ????? k sasez jksHTzH sT1| () 式 ()的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 作周期的延拓，在經(jīng)過式 ()的映射變換，映射到 Z 平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH 。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關系： ????。經(jīng)過式 ()的映射， s 平面的左半平面映射為 Z平面的單位圓內(nèi)，因此，一個因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。 經(jīng)過以上 分析，按照脈沖響應不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) ??sHa ，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) ??zH ,其設計具體步驟歸納如下： (1)利用 ????(可由關系式 ez sT? 推出 )，將數(shù)字濾波器指標 ?P ， ?S 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標 ?P ， ?S (2)根據(jù)指標 ?P ， ?S 來設計模擬濾波器 ??sHa (3)利用部分分式展開法，把 ??sHa 展成 ??? ?Nk kka Ps AsH 1)( () (4)最后把模擬極點 Pk 轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點 eTSk ，得到數(shù)字濾波器： 寧夏大學新華學院本科學位論文 7 ? ? ? ?? ? ?Nk TS k Ze AzH k1 11 () 雙線性 Z 變換法 為了克服脈沖響應不變法設計數(shù)字濾波器時，由于 ????的頻率關系是根據(jù) ez sT?推導的，所以是 ?j 軸每隔 ?/2? 便映射到單位圓上一周，引起的頻域 混疊，人們找到了另一種映射關系： 112 ??? ZZTS () 此關系稱為雙線性 Z 變換法。 頻帶變換 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器 設模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字高通濾波器的 Z 平面的變換公式為： ZZTS S 11112 ?????? () 頻率變換 公式為： 2cot2 ?TS?? () 得到數(shù)字高通濾波器的傳遞函數(shù)表達式為： ? ? ? ?|11112 ZZTSa SsHzH ??????? () 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器 設模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字帶阻濾波器的 Z 平面的變換公式為： ZZ ZS 201 2c os21 1 ?? ? ?? ?? ?