【正文】 ∠ 3，因此有∠ 2=∠ 3． 總結(jié)升華： 在解有關(guān)圓的切線問題時(shí)，常常連接過切點(diǎn)的半徑，以便利用“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”這一性質(zhì)． 類型三、切線的判定 3．如圖， P 點(diǎn)是∠ AOB 的平分線 OC 上一點(diǎn)， PE⊥ OA 于 E，以 P 為圓心， PE為半徑作⊙ P .求證：⊙ P 與 OB 相切 . 思路點(diǎn)撥： 要證 OB是⊙ P 的切線，且不知道是否有公共點(diǎn)，所以作 PF⊥ OB 于 F，只需證 PF=PE 即可 . 證明： 作 PF⊥ OB 于 F ∵ OP 平分∠ AOB，且 PE⊥ OA ∴ PF=PE，∴ OB 是⊙ P 的切線 . 舉一反三： 【變式 1】已知：如圖，在梯形 ABCD 中， AB∥ DC，∠ B=90176。， AD=AB+DC， AD是⊙ O 的 直徑．求證： BC 和⊙ O 相切． 思路點(diǎn)撥： 從已知條件不易判斷直線 BC與⊙ O有沒有公共點(diǎn) ，所以不便利用判定定理“經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”．聯(lián)想到“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”，考慮作輔助線 OE⊥ BC，垂足為 E，只要證明 OE 等于⊙ O 的半徑即可 .根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)定理和已知條件，這點(diǎn)不難證明 . 證明： 作 OE⊥ BC，垂足為 E， ∵ AB∥ DC，∠ B=90176。， ∴ OE∥ AB∥ DC， ∵ OA=OD， ∴ EB=EC， ∴ BC 是⊙ O 的切線． 【變式 2】如圖，在以 O 為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦 AB 和 CD 相等，且 AB 與小圓切于點(diǎn) E．求證： CD 與小圓相切． 思路點(diǎn)撥： 因?yàn)?AB 與小圓切于點(diǎn) E，聯(lián)想切線的性質(zhì)定理，若連接 OE，則 AB⊥ OE．要證 CD 與小圓相切，而已知條件中并未明確 CD 和小圓是否有公共點(diǎn)，所以可作 OF⊥ CD，垂足為 F．只要證明 OF 等于小圓的半徑即可．因?yàn)?AB、 CD 為大圓的弦，而且相等，而OE、 OF 分別為兩弦的弦心距，因此有 OE=OF，即 OF等于小圓的半徑．于是可得出證法． 證明： 連接 OE，過 O 作 OF⊥ CD，垂足為 F． ∵ AB 與小圓切于點(diǎn) E， ∴ OE⊥ AB． ∵ AB=CD， ∴ OE=OF． 也就是圓心 O 到 CD 的距離等于小圓的半徑． ∴ CD 與小圓相切． 4．△ ABC 內(nèi)接于⊙ O， D 為 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ DCB=∠ A，求證： CD 是⊙O 的切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 CD 是⊙ O 切線，且已知公共點(diǎn) C，所以連接 OC，用判定定理，只需OC⊥ CD，即證：∠ OCB+∠ DCB=90176。 . 方法一：要證直角可利用直徑所對(duì)圓周角是直角 . 證明： 作直徑 CE，連接 BE，則∠ CBE=90176。 ∴∠ E+∠ OCB=90176。 ∵∠ A=∠ E，∠ DCB=∠ A ∴∠ DCB+∠ OCB=90176。 ∴ OC⊥ CD ∴ CD 是⊙ O 切線 . 方法二：此題也可采用圓周角定理 . 證明： 連接 OC、 OB，設(shè)∠ A=∠ DCB=x，則 ∠ BOC=2x ∵ OB=OC ∴∠ OCB+∠ DCB=90176。 ∴ OC⊥ CD，即 CD 是⊙ O 切線 . 舉一反三： 【變式 1】如圖，△ ABC中， AB=AC，以 AB 為直徑的⊙ O 交 BC于 D， DE⊥ AC 于 E，求證： DE 是⊙ O 的切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 DE是⊙ O切線，且已知公共點(diǎn) D，所以連接 OD，只需證 OD⊥ DE 即可，又已知 DE⊥ AE，所以需證： OD∥ AC. 方法一： 證明： 連接 OD ∵ OB=OD ∴∠ B=∠ ODB ∵ AB=AC ∴∠ B=∠ C ∴∠ ODB=∠ C ∴ OD∥ AC 又∵ DE⊥ AC ∴ OD⊥ DE ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 方法二：此題中證明 OD∥ AC，還有另外方法： 證明： 連接 OD、 AD，∵ AB 是⊙ O 直徑，∴ AD⊥ BC ∵ AB=AC ∴ BD=CD 又∵ OB=OA ∴ OD∥ AC 又∵ DE⊥ AC ∴ OD⊥ DE ∴ DE 是⊙ O 切線 . 【變式 2】如圖，△ ABC 中，∠ ACB=90176。，以 AC 為直徑的⊙ O，交 AB 于 D， E 為BC 中點(diǎn) .求證： DE 是⊙ O 切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 DE 是⊙ O 切線，且已知公共點(diǎn) D，所以連接 OD，只需證∠ ODE=∠OCB=90176。即可 . 方法一：需證△ ODE≌△ OCE. 證明： 連接 OD， OE ∵ OA=OC， E 為 BC 中點(diǎn) ∴ OE∥ AB ∴∠ DOE=∠ ADO ∠ COE=∠ A ∵ OA=OD ∴∠ A=∠ ADO ∴∠ DOE=∠ COE ∵ OD=OC OE=OE ∴△ DOE≌△ COE ∴∠ ODE=∠ OCE ∵∠ ACB=90176。 ∴∠ ODE=90176。 ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 方法二：此題證明∠ ODE=∠ OCE 還有另外證法 證明： 連接 OD， CD ∵ AC 是⊙ O 直徑 ∴ CD⊥ AB ∵ E 為 BC 中點(diǎn) ∴ ED=EC ∴∠ EDC=∠ ECD 又∵ OD=OC ∴∠ ODC=∠ OCD ∴∠ EDC+∠ ODC=∠ ECD+∠ OCD ∴∠ ODE=∠ OCE=90176。 ∴ DE 是⊙ O 的切線 . 【變式 3】已知：如圖， AB 是⊙ O 的直徑， BC 是⊙ O 的切線，切點(diǎn)為 B， OC 平行于弦 AD，求證： DC 是⊙ O 的切線． 思路點(diǎn)撥： 因?yàn)?AB 是直徑， BC 切⊙ O 于 B，所以 BC⊥ AB．要證明 DC 是⊙ O 的切線，而 DC和⊙ O有公共點(diǎn) D，所以可連接 OD，只要證明 DC⊥ OD．也就是只要證明∠ ODC=∠ △ ODC 和△ OBC 的內(nèi)角，所以只要證△ ODC≌△ OBC．這是不難證明的． 證明： 連接 OD． ∵ OA=OD，∴∠ 1=∠ 2． ∵ AD∥ OC， ∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4． 因此 ∠ 3=∠ 4． 又∵ OB=OD， OC=OC， ∴ △ OBC≌△ ODC． ∴∠ OBC=∠ ODC． ∵ BC 是⊙ O 的切線， ∴∠ OBC=90176。， ∴∠ ODC=90176。． ∴ DC 是⊙ O 的切線． 類型四、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用 5．已知，如圖，⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為 D、 E、 F，若 AB=7， AC=8，BC=9，求 AD、 BE、 CF 的長(zhǎng) . 思路點(diǎn)撥： AD、 BE、 CF 的長(zhǎng)都是⊙ O 的切線長(zhǎng)，可以通過切線長(zhǎng)定理建立方程而求解：設(shè) AD=x，則 BD=7x. 解： ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓 ∴ AD=AF=x， BD=BE=7x， CE=CF=8x ∵ BC=BE+CE ∴ 7x+8x=9 ∴ x=3 ∴ AD=3， BE=4， CF=5. 舉一反三： 【變式 1】已知：如圖， PA， PB 是⊙ O 的切線， A、 B 為切點(diǎn)，過 上的一點(diǎn) C 作⊙ O 的切線，交 PA 于 D，交 PB 于 E. (1)若∠ P=70176。，求∠ DOE 的度數(shù)； (2)若 PA=4cm，求△ PDE 的周長(zhǎng) . 思路點(diǎn)撥： 根據(jù)切線長(zhǎng)定理，要求∠ DOE 只需要求出∠ AOB，而∠ AOB+∠ P=180176。 . 解： 連接 OA、 OB、 OC ∵⊙ O 分別切 PA、 PB、 DE 于點(diǎn) A、 B、 C ∴ OA⊥ PA， OB⊥ PB， OC⊥ DE， AD=CD， BE=CE ∴ OD 平 分∠ AOC， OE 平分∠ BOC ∵∠ P+∠ AOB=180176。，∠ P=70176。 ∴∠ DOE=55176。 △ PDE 的周長(zhǎng) =PD+PE+DE =PD+AD+BE+PE =PA+PB=8cm 總結(jié)升華： 此題的解答中推出兩個(gè)重要結(jié)論： (1) ； (2)△ PDE 的周長(zhǎng) =PA+PB=2PA. 【變式 2】已知：如圖，△ ABC 中，∠ C=90176。， BC=4， AC=3，求△ ABC 的內(nèi)切圓⊙O 的半徑 r. 方法一： 思路點(diǎn)撥： 把⊙ O 的半徑 r 與△ ABC 的邊聯(lián)系起來，可以通過切線的性質(zhì)證明四邊形ODCF 是正方形，再利用切線長(zhǎng)定理可求解 . 解： 連接 OD、 OF ∵⊙ O 切△ ABC 的邊 BC、 AC 于點(diǎn) D、 F ∴ OD⊥ BC， OF⊥ AC 又∵∠ C=90176。 ∴四邊形 ODCF 是矩形 ∵ OD=OF ∴矩形 ODCF 是正方形 ∴ CD=CF=OD=r ∴ BD=4r， AF=3r ∵ AB 切⊙ O 于 E ∴ BE=BD， AE=AF ∴ BD+AF=AB ∴ 4r+3r=5 ∴ r=1 方法二：此題亦可采用：面積變換求解 . 連接 OA、 OB、 OC、 OD、 OE、 OF ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓， ∴ OD⊥ BC， OE⊥ AB， OF⊥ AC ∵∠ C=90176。， BC=4， AC=3 ∴ AB=5 ∵ S△ AOB+S△ BOC+S△ AOC=S△ ABC 即 (3+4+5)r=3 4 ∴ r=1 總結(jié)升華： 通過此題的求解過程，總結(jié)如下結(jié)論：在 Rt△ ABC 中，∠ C=90176。，設(shè) BC=a， AC