【正文】 24 其中式（ 24）稱為傅 立 葉反變換（ IFT）。 F (ω )是ω 的連續(xù)函數(shù)，稱為信號 f (t )的頻譜密度，簡稱頻譜。 在實際中更多地用到了時域離散信號的傅里葉分析，尤其是在數(shù)字信號處理（ DSP）中。類似于連續(xù)信號，時域離散信號也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時間序列傅里葉變換（ DTFT）和離散傅 立 葉變換（ DFT）。前者主要針對非周期的離散時間信號，而后者主要針對周期性的離散時間信號。在實際應(yīng)用中，大量接觸到的是一段時間序列，既非周期也非無限長，理論上應(yīng)用 DTFT，但為了便于計算機(jī)實現(xiàn)，通常直接應(yīng)用 DFT 公式進(jìn)行求取，即： 傅 立 葉變換時一種全局變換，描繪的是整個時間段內(nèi)頻率的特性，而沒有刻畫特定時間段或頻率段的特性，所以在分析很多非平穩(wěn)信號時具有很大的局限性，比如軸承故障振動信號、地震信號和語音信號等，他們的統(tǒng)計特性隨時間變化，即信號的頻率是時變的；從實時性角度來說，從傅 立 葉變換的定義可以看出，傳統(tǒng)的傅里葉變換是針對（ ?∞ ,+∞ ）所有的信號，即需要將所有信號采集完成才能給出結(jié)果，這樣就滿足不了實時處理的要求。準(zhǔn)確描述非平穩(wěn)信號必須使用具有局部性能的時域和頻域的二維（ t, w）聯(lián)合表示，或者說必須提取特定時間段和頻率段內(nèi)的信號 特性。 1946 年 Gabor 提出了窗口傅 立 葉變換，即在傳統(tǒng)的傅 立 葉分析之前對信號進(jìn)行加窗處理。這里的窗函數(shù)選擇必須是實對稱函數(shù)；在某個小區(qū)間外迅速衰減為 0。這是一種最初有 Gabor 提出的較為簡單的時頻分析方法，而且窗函數(shù)都是短時函數(shù)，所以又稱該方法為 Gabor 變換或短時傅 立葉變換（ STFT）。 在解決加窗傅 立 葉變換的局限性的過程中催生了小波理論，從類比和繼承的角度講，將加窗傅 立 葉變換中的窗函數(shù)的選擇按照某種規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)和擴(kuò)展，并用嚴(yán)格和抽象的數(shù)學(xué)理論描述，即產(chǎn)生了小波理論。從理論上上講，小波分析理論是建立在實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、泛函分析、調(diào)和分析等近代數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的，這些近代成熟的數(shù)學(xué)理論為小波分析提供了重要的理論基礎(chǔ)，同時也增加了小波理論的抽象性。 小波變換 類似于窗口傅立葉變換中的基本窗函數(shù)（母函數(shù)）平移得到一組形狀相同窗函數(shù)，小波變換的出發(fā)點(diǎn)也是一個基本小波，通過伸縮和平移得到一組形狀相似的小波。這個基本小波稱為母小波，伸縮和平移產(chǎn)生的小波成為子小波或者小波基函數(shù)。之所以稱為小波，是因為小波函數(shù)的兩個重要特征得來的：一是振蕩性，它是振蕩波形，并且圍繞時間軸的面積為零；二是衰減性 ,函數(shù)兩端很快衰減到零。正是由于這種特性，使小波具有時頻局部化特性。 連續(xù)小波變換最初提出來是作為一種解決短時傅立葉變換中分辨率問題的方 法。連續(xù)小波分析也是采用一種類似于短時傅立葉分析的方法 ,將信號與一個函 數(shù)相乘，類似于短時傅立葉變換中將信號與窗函數(shù)相乘，并且連續(xù)小波變換是將 時域信號分成不同的時間片段進(jìn)行計算的。 連續(xù)小波變換定義如下式 ： 1( , ) ( , ) ( ) ( )xxtCW T s s x t dtss?? ?? ? ? ? ??? ? 25 如上面等式所示，變換后的信號是一個分別包含變量 ? 和尺度參量上 s 的函數(shù)。? (t)是變換函數(shù)，并且被成為母小波。母小波得名的原因是因為如下所述的兩個有關(guān)小波分析的重要屬性： “小波”就是小區(qū)域，長度有限，均值為 0 的波形。所謂 “ 小 ” 是指它具有衰減性 ； 而稱之為 “ 波 ” 則是指它的波動性 ， 其振幅正負(fù)相間的震蕩形式 。“ 母 ”這個詞意味著在變換過程中所用到的支持不同區(qū)域的不同函數(shù)都是從一個主函數(shù)或者說是從一段母波中衍生出來的 。 換句話說 ， 母小波是產(chǎn)生其他窗函數(shù)的原型 。 變量 ?是與窗函數(shù)的位置有關(guān)的 ， 隨著窗通過信號的不同區(qū)域 ， ? 也隨之發(fā)生變換 。 顯然 ， 這與變換域中的時間信息緊密聯(lián)系在一起 。 從物理上闡述 ， 小波變換的這個系數(shù)表示了信號在時域和頻域中能量上的多樣性 。 在工程應(yīng)用方面 ， 連續(xù)小波變換系數(shù)的平方通常被稱為小波尺度圖 。 而小波尺度圖通常不 用于機(jī)器的故障診斷中 。 連續(xù)小波變換理論通常只適合于理論的分析和推導(dǎo)，由于現(xiàn)代計算機(jī)都采用數(shù)字處理方法，因此連續(xù)小波變換必須離散化，即進(jìn)行離散小波變換（ DWT）以便于應(yīng)用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算。離散化的方法是把小波基函數(shù)進(jìn)行離散化，即將自變量 a 和τ 進(jìn)行離散化處理。 則的離散小波函數(shù) ，在實際應(yīng)用中，通常進(jìn)一步取常數(shù) a0=2，τ 0=1， 則進(jìn)一步得到信號 2( ) ( )f t L R? ，離散小波變換為： *2,( , ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( 2 )j jf j k RW T j k f t t f t t k d t??? ?? ? ? ? ?? 26 其中 j， k 分別為頻率范圍指數(shù)和時間步長變化指數(shù)，這是一種性質(zhì)較好的二進(jìn)離散方案。離散化后的小波變換系數(shù) ( , )fWT j k 與連續(xù)小波變換系數(shù)( , )fWT a? 相比，前者是關(guān)于整數(shù) j ， k 的二維離散序列，而后者是關(guān)于實數(shù) a ，τ 的二維連續(xù)變量。 多分辨率分析 與 提出了多分辨分析概念，簡稱 MRA（ MultiResolution Analysis），多分辨率分析又稱為多尺度分析，是小波 分析中的重要概念之一，也是小波分析計算機(jī)運(yùn)算實現(xiàn)的重要理論前提。 MRA 是理解和構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，無論在理論分析還是在構(gòu)造、理解和應(yīng)用小波方面，它都是十分重要的，是信號分解與重構(gòu)快速算法實現(xiàn)的理論基礎(chǔ)。多分辨分析的基本思想是把信號投影到一組互相正交的小波函數(shù)構(gòu)成的子空間上，從函數(shù)空間的角度來研究函數(shù)或信號的多尺度表示，形成了信號在不同尺度上的展開，從而提取了信號在不同頻帶的特征，同時保留了信號在各尺度上的時域特征。 常用的小波函數(shù) 在工程實際中，以下幾種小波函數(shù)的應(yīng)用比較廣泛： 1. Haar 小波：它是小波分析發(fā)展過程中用得最早的小波函數(shù)，也是最簡單的小波， Haar 小波本身是一個階躍函數(shù)，可以用解析的方法表達(dá)為如下形式： 27 Haar 小波是一個間斷函數(shù)，它的支集長度為 1，濾波器長度為 2。 2. Daubechies 小波：它是由著名小波學(xué)者 Ingrid Daubechies 所創(chuàng)造，她發(fā)明的緊支集正交小波是小波領(lǐng)域的里程碑，使得小波的研究由理論轉(zhuǎn)為可行Daubechies 系列小波簡寫為 dbN，其中 N 表示階數(shù)。 db1 等同于 Haar 小波，其余的 db 系列小波函數(shù)都沒有解析表達(dá)式。它們的支集長度和濾波器長度都是 2N 左右，消失矩為 N，可見這個系列的小波擴(kuò)展性比較好，可以比較靈活的權(quán)衡增加支集長度（為了提高能量的集中程度）帶來的邊界問題。 3. Morlet 小波 (圖 21,a)：它是一個具有解析表達(dá)式的小波，但它不具有正交性，所以只能滿足連續(xù)小波的允許條件，同時不存在緊支集，不能做離散小波變換和正交變換。其解析形式如下： 2 2( ) C e c o s (5 )xxx? ?? 28 此外，還有 Symlets 小波、 Mexican Hat 小波、 Meyer 小波 （圖 21 ,b） 、 Gauss小波等。 a: Morlet 小波 b: Meyer 小波 圖 21 兩種常見小波函數(shù)主要性質(zhì) 小波包算法 盡管如上文所描述的小波變換是一種具有更好擴(kuò)展性和靈活性的時頻分析方法，然而小波變換作為一個頻域分析方法有一個嚴(yán)重的問題，就是在針對高頻區(qū)域進(jìn)行小波分析時，該方法有嚴(yán)重的缺陷。因此，當(dāng)信號在高頻區(qū)域分布緊密時小波變換很難提高其分辨率。為了提高高頻區(qū)域中小波變換的分辨率，小波包變換得以被提出，小波包變換是基于小波變換提取了小波函數(shù)線性區(qū)域的分析方法。小波包基本繼承了相應(yīng)小波函數(shù)的基本屬性，比如正交性以及頻率分布等。小波包變換的結(jié)構(gòu)也與離散小波變換比較類似，兩者都有多尺度分析的框架。離散小波變換和小波包變換的主要區(qū)別在于小波包變換可以同時分裂多個細(xì)節(jié)和近似的描述，但是離散小波變 換只能分裂出一個近似的描述。因此小波包變換在每一個尺度上有這相同的頻率帶寬而，離散小波變換就沒有這個特點(diǎn)。小波包變換的這種分辨率模式保證了原始信號的信息不會因為變換增加或者減少信息。因此，在中頻和高頻區(qū)域有更好質(zhì)量的信號可以用來進(jìn)行更高頻率的信號分析?？梢哉f小波包變換適用于信號處理尤其適用于對非穩(wěn)態(tài)信號進(jìn)行處理 ,因為信號在進(jìn)行小波包變換后各個尺度上有這相同的頻帶寬度而與頻率本身的高或者低無關(guān)。 小波包分析 下面給出了小波包計算方法的推廣過程，定義子空間 njU 是函數(shù) ()nUx的閉包空間， 2njU 是函數(shù) 2 ()nUx的閉包空間， 令 ()nUx滿足下面二尺度方程： 29 以一個三層的分解說明小波包分析的原理，其小波包分解樹如圖 所示。 圖 22 三層小波包分解樹結(jié)構(gòu)圖 圖中 A 表示低頻， D 表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波包分解的層數(shù) (