【正文】 縮，從而減小通信開(kāi)銷(xiāo)已經(jīng)成為非常緊迫的需求。 壓縮感知理論與傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理不同，它指出，只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)，可以證明這樣的投影包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息。 在該理論 框架下，采樣速率不決定于信號(hào)的帶寬，而決定于信息在信號(hào)中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。 事實(shí)上，壓縮感知理論的某些抽象結(jié)論源于 Kashin 創(chuàng)立的范函分析和逼近論， 最近由Cand232。s， Romberg ， Tao 和 Donoho 等人構(gòu)造了具體的算法并且通過(guò)研究表明了這一理論的巨大應(yīng)用前景。從信號(hào)分析角度來(lái)講，傅立葉變換是信號(hào)和數(shù)字圖像處理的理論基礎(chǔ)，小波分析將信號(hào)和數(shù)字圖像處理帶入到一個(gè)嶄新的領(lǐng)域。 多尺度幾何分析是繼小波分析后的新一代信號(hào)分析工具，它具有多分辨、局部化和多方向性等優(yōu)良特性，更適合于處理圖像等高維信號(hào)。 這些研究 工作都為壓縮感知理論奠定了基礎(chǔ)。顯然，在壓縮感知理論中，圖像 /信號(hào)的采樣和壓縮同時(shí)以低速率進(jìn)行，使傳感器的 采樣和計(jì)算成本大大降低，而信號(hào)的恢復(fù)過(guò)程是一個(gè)優(yōu)化計(jì)算的過(guò)程。 因此，該理論指出了將模擬信號(hào)直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑，具有直接信息采樣特性。 由于從理論上講任何信號(hào)都具有可壓縮性，只能找到其相應(yīng)的稀疏表示空間，就可以有效地進(jìn)行壓縮采樣，這一理論必將給信號(hào)采樣方法帶來(lái)一次新的革命。 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù) 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)就是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)編碼或者壓縮編碼，從而用最少的數(shù)碼來(lái)表示信源發(fā)出的信號(hào)。數(shù) 據(jù)壓縮的對(duì)象很廣泛，可以是通信時(shí)間、傳輸帶寬、存儲(chǔ)空間甚至發(fā)射能量。數(shù)據(jù)壓縮的作用是能夠快速地傳輸各種信號(hào)；在已有的一些通信干線并行開(kāi)通更多的多媒體業(yè)務(wù)；緊縮數(shù)據(jù)存儲(chǔ)容量；降低發(fā)信機(jī)功率等等。 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)壓縮技術(shù) 前較成熟的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)有許多種，按照壓縮后對(duì)信息的失真程度 ,主要分為無(wú)損壓縮和有損壓縮。 無(wú)損壓縮是利用數(shù)據(jù)中的統(tǒng)計(jì)冗余進(jìn)行壓縮。數(shù)據(jù)中間存在的一些多余成分，稱(chēng)之為冗余度。例如，在某一份計(jì)算機(jī)文件中，一些符號(hào)會(huì)反復(fù)出現(xiàn)、一些符號(hào)比其它的符號(hào)出現(xiàn)得更頻繁、一些符號(hào)總是出現(xiàn)在各數(shù)據(jù)塊中的可 預(yù)見(jiàn)的位置上，以上講述的這些冗余部分便可在數(shù)據(jù)編碼中除去或者減少。這種無(wú)損壓縮機(jī)制可以完全恢復(fù)原始數(shù)據(jù)而不引起任何失真，但是壓縮率卻受到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)冗余度的理論限制，一般為2:1 到 5:1。這類(lèi)方法可以廣泛用于文本數(shù)據(jù)、程序以及特殊應(yīng)用場(chǎng)景的圖像數(shù)據(jù)（如醫(yī)學(xué)圖像）的壓縮。它的主要壓縮機(jī)制包括 Huffman 編碼、算術(shù)編碼、游程編碼和字典編碼等系列。 有損壓縮是利用了人類(lèi)對(duì)圖像或者聲音中的某些頻率成分不敏感的特殊性質(zhì)，允許壓縮過(guò)程中損失一定的信息；盡管不能完全恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)，但是所缺失的數(shù)據(jù)部分對(duì)于我們理解原始圖像 的影響很小，卻使得壓縮比大了許多。有損壓縮廣泛應(yīng)用于語(yǔ)音，圖像和視頻數(shù)據(jù)的壓縮。它一般有兩種基本的壓縮機(jī)制，一種是有損變換編解碼（如傅立葉變換、離散余弦變換、小波變換），即首先對(duì)圖像或者聲音進(jìn)行采樣、切成小塊、變換到一個(gè)新的空間、量化，接著對(duì)量化值進(jìn)行熵編碼；另外一種是預(yù)測(cè)編解碼（如脈沖編碼調(diào)制、差分脈沖編碼調(diào)制、自適應(yīng)差分脈沖編碼調(diào)制等），即利用先前的數(shù)據(jù)和隨后解碼的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前的聲音采樣或者圖像幀，并對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差以及其它一些重現(xiàn)預(yù)測(cè)的信息進(jìn)行量化與編碼。 綜合無(wú)損壓縮和有損壓縮的優(yōu) 點(diǎn)，還出現(xiàn)了第三類(lèi)壓縮技術(shù)：混合壓縮。它主要是求取在壓縮效率、壓縮比以及保真度之間的最佳平衡，如靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn) JPEG 和活動(dòng)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn) MPEG 就是采用混合編碼的壓縮方法。 壓縮感知理論（ Compressed/Compressive Sensing/Sampling, CS） 在傳統(tǒng)理論的指導(dǎo)下，信號(hào)主要的一些壓縮方法都要基于奈奎斯特采樣定律進(jìn)行采樣，即信息采樣速率至少為信號(hào)帶寬的兩倍。信號(hào)的編解碼過(guò)程如圖 所示：編碼端首先獲得 X 的 N 點(diǎn)采樣值，經(jīng)變換后只保留其中 K 個(gè)最大的投影系數(shù)并對(duì)它們的幅度和位置編碼，最后將編得的碼值進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸。解壓縮僅是編碼過(guò)程的逆變換。實(shí)際上，采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是不重要的，即 K 值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點(diǎn)數(shù) N 可能會(huì)非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費(fèi)的根本所在。 采 樣壓 縮 傳 輸信 號(hào) X 采 樣 數(shù) 據(jù) N 壓 縮 數(shù) 據(jù) K壓 縮 數(shù) 據(jù) K 采 樣 數(shù) 據(jù) N信 號(hào)解 壓 縮 CS 理論的信號(hào)編解碼框架和傳統(tǒng)的框架大不一樣，如圖 所示。 CS 理論對(duì)信號(hào)的采樣、壓縮編碼發(fā)生在同一個(gè)步驟，利用信號(hào)的稀疏性，以遠(yuǎn)低于 Nyquist 采樣率的速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行非自適應(yīng)的測(cè)量編碼。測(cè)量值并非信號(hào)本身，而是從高維到低維的投影值，從數(shù)學(xué)角度看，每個(gè)測(cè)量值是傳統(tǒng) 理論下的每個(gè)樣本信號(hào)的組合函數(shù)，即一個(gè)測(cè)量值已經(jīng)包含了所有樣本信號(hào)的少量信息。解碼過(guò)程不是編碼的簡(jiǎn)單逆過(guò)程，而是在盲源分離中的求逆思想下，利用信號(hào)稀疏分解中已有的重構(gòu)方法在概率意義上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)或者一定誤差下的近似重構(gòu)，解碼所需測(cè)量值的數(shù)目遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)理論下的樣本數(shù)。 壓縮感知的核心思想是壓縮和采樣合并進(jìn)行，并且測(cè)量值遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號(hào)采集成為可能。 壓縮感知理論主要包括信號(hào)的稀疏表示、隨機(jī)測(cè)量和重構(gòu)算法等三個(gè)方面。稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知的先驗(yàn)條件， 隨機(jī)測(cè)量是壓縮感知的關(guān)鍵過(guò)程，重構(gòu)算法是獲取最終結(jié)果的必要手段。 圖 傳統(tǒng)編解碼理論框圖 壓 縮 感 知 測(cè) 量 傳 輸解 碼 重 構(gòu)特 征 提 取信 號(hào) X 壓 縮 測(cè) 量 值 壓 縮 測(cè) 量 值 壓縮感知關(guān)鍵要素包括稀疏表示、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法。 信號(hào)在某種表示方式下的稀疏性，是壓縮感知應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，經(jīng)典的稀疏化的方法有離散余弦變換（ DCT）、傅里葉變換（ FFT）、離散小波變換（ DWT）等。 最近幾年，對(duì)稀疏表示研究的另一個(gè)熱點(diǎn)是信號(hào)在冗余字典下的稀疏分解。 這是一種全新的信號(hào)表示理論：用超完備的冗余函數(shù)庫(kù)取代基函數(shù)，稱(chēng)之為冗余字典，字典中的元素被稱(chēng)為原子。目前信號(hào)在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在兩個(gè)方面：一是如何構(gòu) 造一個(gè)適合某一類(lèi)信號(hào)的冗余字典，二是如何設(shè)計(jì)快速有效的稀疏分解算法。目前常用的稀疏分解算法大致可分為匹配追蹤（ Matching Pursuit）和基追蹤（ Basis Pursuit）兩大類(lèi)。 壓縮感知理論中，通過(guò)變換得到信號(hào)的稀疏系數(shù)后，需要設(shè)計(jì)壓縮采樣系統(tǒng)的觀測(cè)部分，它圍繞觀測(cè)矩陣?展開(kāi)。觀測(cè)器的設(shè)計(jì)目的是如何采樣得到 M 個(gè)觀測(cè)值，并保證從中能重構(gòu)出長(zhǎng)度為 N 的信號(hào) X 或者稀疏基基?下等價(jià)的稀疏系數(shù)向量。 CandeS 和 Tao 等證明 :獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣可以成為普適的壓縮感知測(cè)量矩陣。 2020 年 Candes 等研究者建立了著名的約束等距性（ RIP）理論，即要想使信號(hào)完全重構(gòu)，必須保證觀測(cè)矩陣不會(huì)把兩個(gè)不同的 K 項(xiàng)稀疏信號(hào)映射到同一個(gè)采樣集合中，這就要求從觀測(cè)矩陣中抽取的每 M 個(gè)列向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的。 Donoho 給出壓縮感知概念的同時(shí)定性和定量的給出測(cè)量矩陣要滿足三個(gè)特征：(1)由測(cè)量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值必須大于一定的常數(shù)； (2)測(cè)量矩陣的列向量體現(xiàn)某種類(lèi)似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性； (3)滿足稀疏度的解是滿足 1 范數(shù)最小的向量。 目前常用的測(cè)量矩陣包括： （ 1）隨機(jī)高斯矩陣。矩陣每個(gè)元素獨(dú)立地服從 均值為 0，方差為M的高斯分布。 圖 CS 理論下數(shù)據(jù)的編解碼過(guò)程 （ 2）隨機(jī)貝努利矩陣。矩陣的每個(gè)元素獨(dú)立地服從對(duì)稱(chēng)的貝努利分布，等概率為M1或 M1。 （ 3）部分正交矩陣。先生成 NN 的正交矩陣 U（如傅里葉矩陣），然后在矩陣 U 中隨機(jī)地選取 M 行向量，對(duì) MN 矩陣的列向量進(jìn)行單位化得到測(cè)量矩陣。 （ 4）部分哈達(dá)瑪矩陣。生成大小為 NN 的哈達(dá)瑪矩陣，然后在生成矩陣中隨機(jī)地選取 M 行向量，構(gòu)成一個(gè) MN 的矩陣。 （ 5）托普利茲和循環(huán)矩陣。首先生成一個(gè)向量 u，由向量 u 生成相應(yīng)的輪換矩陣或托普利茲矩陣 U，然后在矩陣 U 中隨機(jī)地選取其中的 M 行而構(gòu)造的矩陣 Φ。 （ 6）稀疏隨機(jī)矩陣。首先生成一個(gè)零元素的矩陣 Φ，在矩陣 Φ 的每一個(gè)列向量中，隨機(jī)地選取 d 個(gè)位置，然后在所選取的位置的值賦為 1。 壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為兩大類(lèi)，一是貪婪算法，它是通過(guò)選擇合適的原子并經(jīng)過(guò)一系列的逐步遞增的方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)矢量的逼近，此類(lèi)算法主要包括匹配跟蹤算法、正交匹配追蹤算法、補(bǔ)空間匹配追蹤算法等。二是凸優(yōu)化算法，它是把 0 范數(shù)放寬到 1 范數(shù)通過(guò)線性規(guī)劃求解的，此類(lèi)算法主要包括梯度投影法、基追蹤法、最小角度回歸法等。凸優(yōu)化算法算法比貪婪算法所求的解更加精確，但是需要更高 的計(jì)算復(fù)雜度。 此外，迭代閾值法也得到了廣泛的應(yīng)用，此類(lèi)算法也較易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量適中，在貪婪算法和凸優(yōu)化算法中都有應(yīng)用。但是，迭代閾值法對(duì)于迭代初值和閾值的選取均較敏感，且不能保證求出的解是稀疏的。 就目前主流的兩種重建算法而言，基于 1 范數(shù)最小的重建算法計(jì)算量巨大，對(duì)于大規(guī)模信號(hào)無(wú)法應(yīng)用；貪婪算法雖然重建速度快，但是在信號(hào)重建質(zhì)量上還有待提高。 目前，上述理論已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如傳感網(wǎng)、頻譜感知、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、信道預(yù)測(cè)等方面 ,取得了很好的效果。以上是關(guān)于壓縮感知理論與分布式壓縮感知理論的簡(jiǎn)單介 紹，詳細(xì)闡述將在第二章和第三章進(jìn)行展開(kāi)。 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò) 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)是計(jì)算、通信和傳感器這三項(xiàng)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，一開(kāi)始在軍事應(yīng)用中收集數(shù)據(jù)，對(duì)戰(zhàn)場(chǎng)情況和威脅及其重要程度進(jìn)行適時(shí)的完整評(píng)價(jià)，后發(fā)展到民事運(yùn)用，如監(jiān)控大型設(shè)備，災(zāi)區(qū)臨時(shí)通信，衛(wèi)生保健等等。 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)概述 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)一般由若干傳感器節(jié)點(diǎn)組成，節(jié)點(diǎn)是組成無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的基本單位，它負(fù)責(zé)完成采集信息、融合并傳輸數(shù)據(jù)的功能。每一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)由數(shù)據(jù)采集 模塊（傳感器、 A/D 轉(zhuǎn)換器）、數(shù)據(jù)處理和控制模塊（微處理器、存 儲(chǔ)器）、通信模塊（無(wú)線收發(fā)器）和供電模塊（電池、 DC/DC 能量轉(zhuǎn)換器等）組成，如圖 13 所示。 數(shù) 據(jù) 采 集 模 塊傳 感 器A / D 轉(zhuǎn) 換 器數(shù) 據(jù) 處 理 和 控 制 模 塊微 處 理 器存 儲(chǔ) 器通 訊 模 塊無(wú) 線 收 發(fā) 器供 電 模 塊電 池 A C / D C 轉(zhuǎn) 換 器 其中，數(shù)據(jù)采集模塊負(fù)責(zé)感知所需要的信息，數(shù)據(jù)處理和控制模塊負(fù)責(zé)對(duì)感知所得的信息和接收信息進(jìn)行處理，通信模塊負(fù)責(zé)與其他節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，即發(fā)送或者接收信息，供電模塊則負(fù)責(zé)提供所需要的能量。 根據(jù)節(jié)點(diǎn)在傳感網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)體系中所起作用的不同，節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中可以充當(dāng)數(shù)據(jù)采集者、數(shù)據(jù)處理中轉(zhuǎn)站或簇頭節(jié)點(diǎn)幾種角色： （ 1）數(shù)據(jù)采集者，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)采集模塊專(zhuān)門(mén)采集周?chē)沫h(huán)境數(shù)據(jù)（如溫度、壓力），然后通過(guò)通信路由協(xié)議直接或 間接地將采集到的數(shù)據(jù)傳輸給遠(yuǎn)方基站（ Base Station， BS）或匯聚節(jié)點(diǎn)（ Sink） 。 （ 2）數(shù)據(jù)處理中轉(zhuǎn)站，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)不僅要完成采集的任務(wù)，還要接收鄰居節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，一起轉(zhuǎn)發(fā)給距離基站更近的鄰居節(jié)點(diǎn)或者直接轉(zhuǎn)發(fā)到基站或匯聚節(jié)點(diǎn) 。 （ 3）簇頭節(jié)點(diǎn)，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)負(fù)責(zé)收集節(jié)點(diǎn)采集的數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)據(jù)融合后，發(fā)送到基站或匯聚節(jié)點(diǎn)。 傳感器節(jié)點(diǎn)都分散在特定的感知區(qū)域，相互合作、實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)、感知和采集網(wǎng)絡(luò)周邊環(huán)境或監(jiān)測(cè)對(duì)象的溫度、聲波等各種信息。這些信息一經(jīng)采集，就將通過(guò)嵌入式系統(tǒng)進(jìn)行處理，最終通過(guò)隨機(jī)自組織無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)以 多跳中繼方式將所感知信息傳送到用戶終端，使人們無(wú)論在何時(shí)、何地、何種情況下都能獲取大量詳實(shí)可靠的信息 ,實(shí)現(xiàn)人、物和事件之間的無(wú)縫連接，從而真正實(shí)現(xiàn)“無(wú)處不在的計(jì)算”理念。 圖 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖 與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)不同的是，傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)以傳輸數(shù)據(jù)為目的，而無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)則是以數(shù)據(jù)為中心；與傳統(tǒng)的 Ad Hoc 網(wǎng)絡(luò)相比，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)具有以下幾點(diǎn)特征： （ 1）網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)密度高，傳感節(jié)點(diǎn)數(shù)量多 （ 2）傳感器節(jié)點(diǎn)由電池供電 （ 3）網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓l繁 （ 4）網(wǎng)絡(luò)具有容錯(cuò)能力 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)壓縮的必要性 因?yàn)樵跓o(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中 ，每個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)體積很小，而且分布非常密集，若是對(duì)所有采集的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行傳輸，則所需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量將是非常驚人的，會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)擁塞，也會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)壽命縮短；又由于傳感器節(jié)點(diǎn)由電池供電， 所以節(jié)點(diǎn)能量有限，而且無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)所布置的地方一般為人們不便于到達(dá)的地方，因此傳感器節(jié)點(diǎn)中的的電池很難更換。為了節(jié)約能量，延長(zhǎng)傳感器網(wǎng)絡(luò)的壽命，需要采用能效高的網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議和數(shù)據(jù)局部處理策略（如數(shù)據(jù)融合技術(shù)、數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)）。 在這里，我們將說(shuō)明利用壓縮技術(shù)來(lái)減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量的必要性和可行性。相對(duì)于數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)壓縮這兩項(xiàng)功能，數(shù) 據(jù)傳輸所需要的能量是最多的，所以，如果要節(jié)約傳感器節(jié)點(diǎn)的電池能量，必定要減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，因此在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)用數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)來(lái)減少數(shù)據(jù)量一直是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的感知數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行